Александр Владимирович Борман родился 2 мая 1902 года в городе Батуми (ныне Батуми, Грузия). Русский. Вступил в Красную Армию в 1921 году, начав службу как красноармеец летучей почты при штабе 208-й дивизии.
В 1923 году он успешно завершил обучение в Военно-теоретической школе авиации Московского военного округа в городе Егорьевске, а в 1924 году — в Военной школе воздушного боя. В последующие годы Александр Владимирович занимал различные важные должности в авиации, включая командира авиационного отряда, старшего летчика, инструктора-летчика и другие.
В 1927 году он присоединился к ВКП(б). С 1930 года Борман возглавлял авиационные отряды, а также занимал руководящие должности в Черноморском флоте. В 1938 году успешно закончил Высшую летно-тактическую школу в Липецке и был назначен помощником командира лёгкой авиационной бригады. С 1940 года он был командиром 19-й авиационной дивизии в Киевском Особом военном округе.
В начале Великой Отечественной войны, с 24 июня 1941 года, Борман стал заместителем по истребительной авиации помощника по ПВО командующего войсками Юго-Западного фронта. От октября 1941 года исполнял обязанности командующего ВВС 40-й армии. За умелое руководство и организацию боевой работы ВВС 40-й армии на Юго-Западном фронте он был награждён орденом Красной Звезды в 1942 году.
С мая по июль 1942 года он командовал 220-й истребительной авиационной дивизией, а затем был помощником командующего 8-й воздушной армией. В ноябре 1942 года стал командиром 216-й истребительной авиационной дивизии, которая в декабре была переименована в 216-ю смешанную авиационную дивизию.
Под его руководством дивизия активно участвовала в воздушных сражениях на Кубани и в июне 1943 года была преобразована в 9-ю гвардейскую истребительную авиадивизию. Борман, находясь на специальном пункте управления в боевых порядках пехоты, управлял действиями истребителей, разрабатывал тактику ведения воздушного боя, что привело к изменению тактики в боевых действиях.
В апреле 1943 года он стал заместителем командующего 4-й воздушной армией. В мае 1943 года возглавил 1-ю воздушную истребительную армию ПВО для противовоздушной обороны Москвы и объектов Подмосковья. С ноября 1944 года был заместителем командующего 5-й воздушной армией, участвовал в различных наступательных операциях, таких как Будапештская, Венская и Пражская.
После войны, с января 1946 года, Борман служил помощником командующего по строевой части 48-й и затем 45-й воздушных армии. В 1950 году окончил Высшие академические курсы при Высшей военной академии им. К. Е. Ворошилова. В январе 1956 года ушел в запас
Награжден 2 орденами Ленина, 3 орденами Красного Знамени, орденами Отечественной войны 1-й ст., Красной Звезды, медалями.
Александр Владимирович Борман скончался 1 апреля 1982 года в Москве.
