Александр Владимирович Борман родился 2 мая 1902 года в городе Батуми, ныне Батуми, Грузия. Он был русским.
В Красной Армии служил с 1921 года. Начал как красноармеец летучей почты при штабе 208-й дивизии. В 1923 году окончил Военно-теоретическую школу авиации Московского военного округа в городе Егорьевске, а в 1924 году — Военную школу воздушного боя. Затем занимал различные должности, включая военного лётчика, старшего лётчика и инструктора-лётчика в различных военных учебных заведениях.
С 1927 года он был членом ВКП(б). С 1930 года занимал должности командира авиационных отрядов и эскадрилий, а также инструктора-лётчика в различных военных учебных заведениях.
В 1938 году он окончил Высшую лётно-тактическую школу в Липецке и был назначен помощником командира лёгкой авиационной бригады. С 1940 года он командовал 19-й авиационной дивизией в Киевском Особом военном округе.
В начале Великой Отечественной войны, начиная с 24 июня 1941 года, А. В. Борман был заместителем по истребительной авиации помощника по ПВО командующего войсками Юго-Западного фронта. С октября 1941 года он исполнял обязанности командующего ВВС 40-й армии. 27 декабря 1941 года ему было присвоено звание «генерал-майор авиации». 27 марта 1942 года он был награждён орденом Красной Звезды за умелое руководство и организацию боевой работы ВВС 40-й армии на Юго-Западном фронте.
С мая по июль 1942 года он командовал 220-й истребительной авиационной дивизией, затем был помощником командующего 8-й воздушной армией. В ноябре 1942 года он принял командование 216-й истребительной авиационной дивизией, которая в декабре была переименована в 216-ю смешанную авиационную дивизию.
В составе 4-й воздушной армии дивизия под руководством А. В. Бормана активно участвовала в воздушных сражениях на Кубани. В июне 1943 года она была преобразована в 9-ю гвардейскую истребительную авиадивизию. Александр Владимирович Борман руководил действиями истребителей, при необходимости вызывая подкрепление.
После войны, начиная с января 1946 года, он служил помощником командующего по строевой части различных воздушных армий. В 1950 году окончил Высшие академические курсы при Высшей военной академии им. К. Е. Ворошилова. В январе 1956 года ушел в запас.
Награжден 2 орденами Ленина, 3 орденами Красного Знамени, орденами Отечественной войны 1-й ст., Красной Звезды, медалями.
Александр Владимирович Борман скончался 1 апреля 1982 года в Москве.
