Александр Горбатов родился в многодетной семье бывших владельческих крестьян в деревне Пахотино, Шуйского уезда Владимирской губернии (ныне — Палехский район Ивановской области). Его родители, Василий Алексеевич (1855—1935) и Ксения Акакиевна Горбатова, воспитывали пять дочерей — Татьяну, Анну, Марию, Клавдию, Евдокию, и пять сыновей — Николая, Ивана, Александра, Георгия, Михаила.
Образование Александр получил в трехклассной сельской школе в деревне Харитоново с 1899 по 1902 год. Его успехи в учебе были заметны, проявившись в отличном владении арифметикой и быстром, правильном решении задач, что было редкостью даже для взрослых.
В подростковом возрасте Александр работал в сельском хозяйстве отца, занимался зимними отхожими промыслами и трудился на обувной фабрике в городе Шуя.
До призыва в армию, Горбатов трудился в обувном магазине А. Н. Бобкова в Шуе. В октябре 1912 года его призвали на военную службу, и с 17 ноября его зачислили рядовым в 17-й гусарский Черниговский полк, дислоцированный в Орле. В Первую мировую войну Горбатов отправился на Юго-Западный фронт, сражаясь в составе 17-й кавалерийской дивизии до марта 1918 года, достигнув старшего унтер-офицера.
В Гражданскую войну он вступил в РККА в августе 1918 года, служил в Киеве, участвовал в боях под Киевом и Черниговом. Затем он командовал эскадроном в составе 60-й стрелковой дивизии, принимая участие в боях на реке Десна и в освобождении Чернигова и Бахмача. В 1920 году Горбатов был ранен в боях с белополяками, после чего вернулся в строй, приняв командование 2-м Доно-Кубанским кавалерийским полком 25-й стрелковой дивизии.
В его составе он сражался с белополяками под Киевом, преследовал их на Коростеньском и Ковельском направлениях, вплоть до достижения реки Западный Буг. С 20 августа 1920 года А. В. Горбатов командовал Отдельной Башкирской кавалерийской бригадой, а с расформированием бригады 1 апреля 1921 года, он принял командование 15-м отдельным эскадроном войск ВЧК (ОГПУ) в районе города Каменец-Подольск. 26 ноября на базе башкирских эскадронов была сформирована 2-я дивизия червонного казачества в городе Шепетовка, и А. В. Горбатов назначен командиром 12-го Червонно-казачьего полка.
С 18 октября 1941 года эта дивизия была передана 21-й армии и активно участвовала в жестких оборонительных боях в районе Казачьей Лопани, а затем на восточном берегу реки Северский Донец. С 1 марта 1942 года дивизия вступила в состав 38-й армии и продолжила бои вдоль реки Бабка до 11 мая. После этого её части приняли участие в Харьковском сражении.
В период с июня по октябрь 1942 года генерал-майор А. В. Горбатов временно исполнял обязанности инспектора кавалерии сначала на Юго-Западном фронте, а затем с 12 июля на Сталинградском фронте. Он также замещал командующего 24-й армией. В этих должностях он активно участвовал в Сталинградской битве. В период с 6 по 12 апреля 1943 года временно командовал 24-й армией.
С 19 апреля 1943 года А. В. Горбатов организовал и командовал 20-м гвардейским стрелковым корпусом, начиная с его формирования в Москве. Позднее он продолжал командовать этим корпусом. С 27 июня 1943 года и до конца войны он возглавлял 3-ю армию. В июле 1943 года, в ходе Орловской наступательной операции, генерал-лейтенант А. В. Горбатов мастерски планировал и организовывал боевые действия армии, включая прорыв сильно укрепленной обороны противника на реке Зуша и последующее наступление. Как результат, 5 августа войска армии взаимодействуя с 63-й армией, освободили город Орел.
В ходе наступательных операций осенью 1943 и зимой 1944 года 3-я армия под руководством А. В. Горбатова успешно форсировала крупные реки, такие как Сож и Днепр, и участвовала в Белорусской наступательной операции в 1944 году.
В январе и феврале 1945 года А. В. Горбатов мастерски командовал войсками армии при прорыве долговременной обороны противника и отражении его контрударов в ходе Восточно-Прусской наступательной операции, действуя в составе войск 2-го и 3-го Белорусских фронтов.
В начале апреля 1945 года 3-я армия была выведена в резерв фронта, переразмещена юго-восточнее Кюстрина и 16 апреля включена в состав 1-го Белорусского фронта. В этой армии он принял участие в Берлинской наступательной операции.
За его умелое руководство войсками армии при прорыве долговременной обороны противника и отражении его контрударов в ходе Восточно-Прусской наступательной операции, а также за проявленное личное мужество, генерал-полковнику А. В. Горбатову было присвоено звание Героя Советского Союза.
После окончания войны с 29 июня 1945 года он командовал 5-й ударной армией и одновременно занимал должность коменданта Берлина. С 25 октября 1946 года он командовал 11-й гвардейской армией, а с 27 марта 1950 года — Воздушно-десантной армиейми. С 12 мая 1953 года он был командующим ВДВ, а с 28 мая 1954 года — командующим войсками Прибалтийского военного округа. С 17 марта 1958 года он исполнял должность военного инспектора-советника Группы генеральных инспекторов Министерства обороны СССР.
Александр Васильевич Горбатов также был депутатом Верховного Совета СССР во 2-5 созывах. Он был награжден 3 орденами Ленина, орденом Октябрьской Революции, 4 орденами Красного Знамени, 2 орденами Суворова 1-й степени, орденами Кутузова 1-й и 2-й степени,
7 декабря 1973 года Александр Васильевич Горбатов скончался в Москве. Погребён с воинскими почестями на Новодевичьем кладбище.
