Константин Николаевич Леселидзе родился в семье служащего. Получил начальное образование в сельском 2-классном училище села Звани, затем обучался в Озургетском высшем начальном училище и Озургетской гимназии. С 1921 года находился на военной службе, начиная с курсанта Восточной бригады курсантов Кавказской Краснознамённой армии, а затем курсанта Грузинской объединённой военной школы.
В 1922 году принимал участие в боях против бандформирований К. Чолокаева в Хевсуретии. После окончания школы продолжал служить, командовал взводом и выполнял обязанности помощника командира батареи. В это время участвовал в боях с бандформированиями в Озургети (1923) и Душети (1924). В 1925 году экстерном окончил Тифлисскую артиллерийскую школу и с сентября 1927 года командовал батареей в составе 1-го Грузинского стрелкового полка Кавказской Краснознамённой армии.
С сентября 1929 года Леселидзе назначен командиром дивизиона в 3-й Грузинский стрелковый полк, а с апреля 1931 года — командиром и комиссаром 2-го Грузинского артиллерийского полка. В феврале 1936 года ему присвоено звание полковника. С июля 1937 года временно командовал 63-й Грузинской стрелковой дивизией в Закавказском военном округе.
В июне 1938 года Леселидзе переведён в Белорусский военный округ на должность начальника артиллерии 5-й стрелковой дивизии, которую занимал до февраля 1941 года. В сентябре 1939 года принял участие в походе в Западную Белоруссию. Затем 5-я стрелковая дивизия была передислоцирована на территорию Литовской республики.
В начале Великой Отечественной войны Леселидзе исполнял обязанности начальника артиллерии 2-го стрелкового корпуса, а затем командовал 13-й армией, участвуя в оборонительных боях на рубеже Минского укрепрайона. С 10 июля 1941 года корпус вошёл в состав 46-й армии, участвовавшей в Смоленском сражении. Леселидзе затем назначен начальником артиллерии 50-й армии, которая принимала участие в Московской битве. В январе 1942 года ему присвоено звание генерал-майора.
С июня 1942 года Леселидзе стал командиром 3-го стрелкового корпуса Закавказского фронта, который участвовал в битве за Кавказ. В октябре 1942 года ему присвоено звание генерал-лейтенанта, а в январе 1943 года он назначен командующим 47-й армией. В ходе Харьковской наступательной операции армия освободила город Гадяч.
В марте 1943 года Леселидзе стал командующим 18-й армией, участвовавшей в Новороссийско-Таманской наступательной операции. В ходе боев армия освободила Новороссийск и Анапу. За успешное руководство войсками в годы Великой Отечественной войны ему посмертно было присвоено звание Героя Советского Союза.
14 февраля 1944 года, после эвакуации с фронта для лечения тяжёлой болезни, Леселидзе скончался в Москве. За выдающиеся заслуги ему было присвоено звание генерал-полковника. В феврале 1974 года его перезахоронили в Дидубийском пантеоне писателей и общественных деятелей в Тбилиси.
26 февраля 1944 года похоронен в Тбилиси на Старо-Верийском кладбище. 26 февраля 1974 года перезахоронен в Дидубийском пантеоне писателей и общественных деятелей в Тбилиси.
Награждён: 2 орденами Ленина, орденами Красного Знамени, Суворова 1-й ст., Кутузова 1-й ст., Богдана Хмельницкого 1-й ст., 2 орденами Красной Звезды, орденом Трудового Красного Знамени Грузинской ССР, медалями.
