Евдокия Бершанская родилась 6 февраля 1913 года в селе Добровольное, Ставропольский край. После смерти ее родителей в Гражданской войне, она была воспитана в семье своего дяди, Георгия Середы. После окончания школы в 1931 году она поступила в Батайскую школу пилотов. До 1939 года она работала инструктором, готовя летчиков.
В сентябре 1939 года Бершанская была назначена командиром авиационного звена 218-го авиационного отряда специального назначения, который базировался в станице Пашковская, Краснодарский край.
С 1941 года она возглавила созданный женский бомбардировочный полк. Эти женские воинские части были сформированы по инициативе Марины Расковой, Героя Советского Союза, которая возглавила один из трех полков, созданных в октябре того же года.
Бершанская, обладая большим опытом в качестве летчика и хорошими организаторскими способностями, стала командиром 588-го ночного бомбардировочного полка. В 1943 году полк был переименован в 46-й гвардейский Таманский ночной бомбардировочный полк после того, как был удостоен звания гвардейского. Бершанская была удостоена ордена Красного Знамени и ордена Суворова за свои заслуги.
Строгая и внимательная, Евдокия Давыдовна пользовалась заслуженным авторитетом и уважением среди летчиц. Она сама лично совершила 28 боевых вылетов. Действия полка под ее руководством были настолько успешными, быстрыми и точными, что немецкие военные прозвали женщин-летчиц «ночными ведьмами«. До своего расформирования в октябре 1945 года полк оставался полностью женским, на всех должностях служили только женщины.
После окончания войны Евдокия с мужем переехала в Москву, где работала в комитете советских женщин и комитете ветеранов войны.
Евдокия Бершанская скончалась 16 сентября 1982 года от сердечной недостаточности и похоронена на Новодевичьем кладбище в Москве.