Игорь Кваша, родившийся 4 февраля 1933 года в Москве в еврейской семье, был сыном доктора химических наук Владимира Ильича (Вольфа Эльевича) Кваши (1897—1942), который погиб на фронте под Ленинградом во время Великой Отечественной войны. Мать Игоря, Дора Захаровна Кваша, была сурдопедагогом и дефектологом.
Во время войны Игорь находился в эвакуации в Ленинске-Кузнецком вместе с матерью и сестрой. Его увлечение театром началось ещё в детском саду в Сибири, где их эвакуировали в 1941 году. Он сыграл главную роль в постановке сказки «Морозко», которую представляли перед ранеными в госпитале.
Игорь Кваша окончил Школу-студию МХАТ в 1955 году, а затем работал в театре «Современник» с 1957 по 2012 год. Он также стал известен своим участием в радиопередачах, чтении произведений классиков, а также ведением телепередачи «Ищу тебя» с 1998 по 2012 год.
Игорь Кваша ушел из жизни 30 августа 2012 года в возрасте 79 лет в Москве из-за осложнений лёгочного сердца, вызванных бронхитом на фоне хронической обструктивной болезни лёгких. Похороны прошли на Троекуровском кладбище, а прощание с актёром состоялось на сцене театра «Современник» 4 сентября.
