Игорь Кваша родился 4 февраля 1933 года в Москве, в еврейской семье. Отец, Владимир Ильич (Вольф Эльевич) Кваша, был доктором химических наук и заведующим кафедрой МХТИ имени Д. И. Менделеева. В 1942 году был признан погибшим на фронте, но позднее стало известно, что он попал в плен и был расстрелян немцами. Мать, Дора Захаровна Кваша, была сурдопедагогом и дефектологом.
Во время войны семья находилась в эвакуации в Ленинске-Кузнецком. Школу Игорь посещал на Арбате и увлекался театром с детства. В 1955 году он окончил Школу-студию МХАТ, а затем работал в МХАТ СССР имени М. Горького и московском театре «Современник» с 1957 по 2012 год.

Игорь Кваша также был известен как чтец на радио, исполняя произведения различных авторов, включая Пушкина, Маяковского, Блока, Лермонтова и других. Он стал широко популярен после роли бургомистра в телефильме «Тот самый Мюнхгаузен» (1979) и вел различные телепередачи, включая «Ищу тебя» (позже «Жди меня») и «Невероятные истории про жизнь».

Игорь Кваша скончался 30 августа 2012 года в Москве от лёгочного сердца, вызванного бронхитом. Ему было 79 лет. Похороны прошли на Троекуровском кладбище, а прощание с актёром состоялось на основной сцене театра «Современник» 4 сентября.