Александр Белявский родился 6 мая 1932 года в городе Москва. После окончания школы в 1955 году, он поступил на геологоразведочный факультет Московского института цветных металлов и золота, однако не стал работать по специальности. Вместо этого, он поступил в театральное училище имени Щукина и успешно его окончил в 1961 году.
В период с 1961 по 1964 годы Александр Белявский работал в Театре Сатиры, затем с 1964 по 1966 годы — в театре имени Константина Станиславского, а с 1966 года — в Театре-студии киноактера. Он стал первым ведущим популярной в 1960-1970-х годах передачи «Кабачок 13 стульев» и в 1980 годах был постоянным участником телепрограммы Юрия Никулина «Белый попугай».
Дебютировал в 1957 году в фильме «Рассказы о Ленине». Сыграл Белявский Александр Борисович более ста разноплановых ролей. Среди них: Сергей Крылов — «Иду на грозу», капитан Павлов — «Четыре танкиста и собака», Григорий Бакин — «Таланты и поклонники», Саша — «Ирония судьбы, или С легким паром», Павел Борецкий — «Рожденная революцией», Фокс — «Место встречи изменить нельзя», Лев Нарышкин — «В начале славных дел» и «Юность Петра», Л.И. Брежнев — «Серые волки» и другие. Среди его работ в новом тысячелетии — роли в фильмах: «Антикиллер», «Конференция маньяков», «На углу, у Патриарших-2», «Нина», «Сыщики», «Бригада», «Тайны дворцовых переворотов», «Оперативный псевдоним», «Участок», «Ирония судьбы. Продолжение».
Александр Белявский погиб в возрасте 80 лет, упав с пятого этажа дома в центре Москвы 8 сентября 2012 года. Похоронен на Кузьминском кладбище.
