Борис Андреев родился 27 января (9 февраля) 1915 года в Саратове в семье рабочих. Его детство и юношеские годы прошли в Аткарске Саратовской губернии. После окончания семилетней школы в 1930 году он работал слесарем-электромонтёром на комбайновом заводе в Саратове с 1930 по 1935 год.
В период с 1933 по 1935 года, не прекращая работы, он учился в Школе рабочей молодёжи при заводском управлении. В это время Борис начал участвовать в заводском драмкружке. Заметив его талант, известный саратовский актёр И. А. Слонов предложил ему поступить в Саратовское театральное училище, которое успешно окончил в 1937 году.
С 1937 по 1938 год Борис Андреев работал актёром Саратовского драматического театра им. К. Маркса (позднее имени И. А. Слонова). Во время гастролей театра в Москве его заметил кинорежиссёр И. А. Пырьев, пригласив его сыграть в фильме «Трактористы», который вышел в 1939 году.
Следующие годы (1938–1982) Борис Андреев посвятил кинематографу и театру. Он работал актёром в различных киностудиях, таких как Киевская, Ташкентская, Ашхабадская, Сталинабадская и Тбилисская, а также в Театре-студии киноактёра.
В годы войны он снялся в легендарном фильме «Два бойца» (1943) вместе с М. Бернесом. Его выдающиеся роли включают Илью Журбина в «Большая семья» (1954), Лазаря Баукина в «Жестокость» (1959) и боцмана Росомахи в «Путь к причалу» (1962). Одной из важнейших работ стал Вожак в «Оптимистической трагедии» (1963).
Борис Андреев также участвовал в озвучивании мультфильмов и был членом правления Союза кинематографистов СССР. С 1960 по 1982 год он был председателем актёрской секции Союза. В 1948 году он стал членом ВКП(б).
Борис Андреев ушел из жизни 25 апреля 1982 года (по другим данным — 21 или 24 апреля) в Москве от обширного инфаркта. Его похоронили на Ваганьковском кладбище, хотя ему, как народному артисту СССР, полагалось упокоение на Новодевичьем кладбище. В 1965 году он уступил свое законное место на престижном кладбище своему лучшему другу Петру Алейникову.
