Борис Андреев родился 27 января (9 февраля) 1915 года в Саратове в семье рабочих. Его детство и юношеские годы прошли в Аткарске Саратовской губернии. После окончания школы-семилетки в 1930 году он работал слесарем-электромонтёром на комбайновом заводе в Саратове (1930—1935). В период с 1933 по 1935 годы, не прекращая работы, он учился в Школе рабочей молодёжи при заводском управлении, где начал заниматься драмой.
Саратовский актёр И. А. Слонов обратил внимание на его талант и предложил поступить в Саратовское театральное училище. Андреев успешно окончил его в 1937 году. Его успехи были замечены коллективом завода, который даже предоставлял ему стипендию.
В 1937—1938 годах он работал актёром Саратовского драматического театра им. К. Маркса. Во время гастролей в Москве его заметил кинорежиссёр И. А. Пырьев и пригласил сыграть в фильме «Трактористы», который вышел на широкий экран в 1939 году.
С 1941 по 1982 годы Борис Андреев работал в различных киностудиях и театрах, снимался в легендарных фильмах, таких как «Два бойца» (1943) и «Оптимистическая трагедия» (1963). Он также принимал участие в озвучивании мультфильмов и был членом правления Союза кинематографистов СССР.
Борис Андреев скончался 25 апреля 1982 года от обширного инфаркта в Москве.
