До призыва в армию С. И. Богданов работал на Путиловском заводе в Петрограде и на механическом заводе Беккера в г. Ревель. В Первую мировую войну, 13 января 1915 г., его мобилизовали на военную службу в качестве вольноопределяющегося, и он был зачислен в запасной воздухоплавательный батальон 1-го авиационного парка Северного фронта. В 1916 г. он окончил курсы шоферов и был откомандирован на учебу в школу прапорщиков Северного фронта в г. Гатчина. После ее окончания в мае 1917 г. назначен командиром взвода во 2-й запасной пехотный полк в г. Фридридсгаум (Финляндия).
В период с 3 по 12 декабря 1917 г., командуя взводом русско-финского отряда, выделенного из состава полка, участвовал в подавлении восстания в г. Куопио. После демобилизации в феврале 1918 г. командовал взводом охраны на Октябрьской (Николаевской) железной дороге. В Гражданскую войну С. И. Богданов в июне 1918 г. в Петрограде добровольно вступил в Красную армию и был назначен командиром взвода 4-го Костромского полка. С апреля 1919 г. командовал ротой во 2-м запасном полку. С января 1920 г. — командир роты, батальона в составе 502-го стрелкового полка 56-й стрелковой дивизии. Участвовал в советско-польской войне 1920 г. в боях на территории Витебской, Минской и Виленской губерний.
За проявленные в боях мужество и храбрость награжден орденом Красного Знамени. С октября 1920 г. командовал взводом во 2-м запасном пехотном полку, с января 1921 г. — ротой 40-х Костромских пехотных курсов комсостава. С 10 мая по 20 июля 1921 г., командуя ротой, батальоном и будучи врид начальника курсов, участвовал в подавлении вооруженного восстания А. С. Антонова в Тамбовской губернии.
С октября 1922 г. по октябрь 1923 г. С. И. Богданов находился на учебе в Высшей военной педагогической школе в Москве, после чего направлен командиром роты в 14-ю пехотную Полтавскую школу комсостава. С сентября 1925 г. в составе 135-го стрелкового полка 45-й стрелковой дивизии Украинского военного округа проходил службу в должностях командира батальона, пом. командира полка по хозяйственной части, пом. командира полка по строевой части.
В октябре 1930 г. был назначен командиром 134-го стрелкового полка, с мая 1934 г. — 134-й механизированной бригады. С октября 1935 г. С. И. Богданов назначается командиром учебно-механизированного полка при Военной академии механизации и моторизации РККА им. И. В. Сталина, с января 1937 г. командовал 9-й механизированной бригадой.
С 1 мая 1938 г. по 27 октября 1939 г. находился под следствием, был уволен из РККА и осужден «за халатность» на 2 года. Однако позже Военной коллегией Верховного суда СССР был оправдан и досрочно освобожден по амнистии.
После освобождения С. И. Богданов находился в распоряжении Управления по начальствующему составу РККА. В марте 1940 г. был назначен начальником пехоты 29-й моторизованной дивизии. С ноября 1940 г. командовал 32-й отдельной легкотанковой бригадой, с марта 1941 г. — 30-й танковой дивизией 14-го механизированного корпуса Западного ОВО.
В начале Великой Отечественной войны дивизия в составе 4-й армии Западного фронта вступила в бой с соединениями 2-й танковой группы противника на брестском направлении. До середины июля она вместе с другими соединениями корпуса и армии сдерживала продвижение врага до рубежа р. Березина. Несмотря на все трудности начального периода войны, части дивизии нанесли противнику большие потери.
В период обороны Москвы полковник С. И. Богданов с октября командовал Можайским УРом Можайской линии обороны, затем исполнял должность зам. командующего 5-й армией по танковым войскам, а в марте — мае 1942 г. — на этой же должности в 10-й армии. В мае он назначается командиром 12-го танкового корпуса, находившегося на формировании в МВО. С сентября корпус находился в резерве Ставки ВГК, затем входил в 3-ю танковую армию Западного фронта. С ноября генерал-майор танковых войск С. И. Богданов командует 6-м механизированным корпусом. В составе 2-й гвардейской армии Сталинградского (с 1 января 1943 г. — Южного) фронта корпус участвовал в Котельниковской наступательной операции. За успешные боевые действия корпус в январе 1943 г. был преобразован в 5-й гвардейский и ему было присвоено почетное наименование Зимовниковский.
В марте 1943 г. С. И. Богданов переведен на должность командира 9-го танкового корпуса. В составе 13-й армии Центрального фронта корпус участвовал в Курской битве. С сентября 1943 г. С. И. Богданов исполнял должность командующего 2-й танковой армией, преобразованной 20 ноября 1944 г. в гвардейскую. Войска армии в январе 1944 г. в составе 1-го Украинского фронта участвовали в отражении контрударов немецко-фашистских войск на винницком направлении, в Корсунь-Шевченковской, Уманско-Ботошанской, Люблин-Брестской, Висло-Одерской, Восточно-Померанской и Берлинской наступательных операциях. В проведенных боях и сражениях в должности командующего танковой армией с особой силой проявилось воинское мастерство С. И. Богданов, умение быстро ориентироваться в сложной обстановке, принимать смелые решения. Так, например, в Уманско-Ботошанской наступательной операции 2-я гвардейская танковая армия во взаимодействии с 27-й армией в качестве подвижной группы фронта завершила прорыв обороны противника севернее г. Умань и совместно с 29-м танковым корпусом 5-й гвардейской танковой армии и 73-м стрелковым корпусом 52-й армии освободила г. Умань. В дальнейшем, несмотря на весеннюю распутицу и бездорожье, армия начала преследование противника, прошла с боями около 240 км, форсировала реки Южный Буг, Днестр, Прут и к концу операции вышла на подступы г. Яссы. За умелое руководство войсками и проявленные при этом мужество и отвагу С. И. Богданову было присвоено звание Героя Советского Союза. За образцовые действия войск под его командованием по окружению и разгрому варшавской группировки противника, при форсировании рек Нетце (Нотець) и Одер и при выходе к побережью Балтийского моря он был награжден второй медалью Золотая Звезда.
После войны маршал бронетанковых войск С. И. Богданов продолжал командовать этой армией, с мая 1947 г. исполнял должность командующего БТ и МВ ГСОВГ. С августа 1948 г. — 1-й зам. командующего, а с ноября — командующий БТ и МВ Советской армии. С 28 апреля 1953 г. командовал 7-й механизированной армией в БВО, с 5 мая 1954 г. — начальник Военной академии бронетанковых войск им. И. В. Сталина.
21 мая 1956 г. уволен в отставку по состоянию здоровья.
Награжден 2 орденами Ленина, 4 орденами Красного Знамени, орденами Суворова 1-й и 2-й ст., медалями, а также иностранными орденами и медалями.
Скончался 12 марта 1960 в Москве от инсульта. Похоронен на Новодевичьем кладбище.
