В 1919 году Александр Павлович Бубнов некоторое время учился в художественной школе в городе Аткарске Саратовской губернии. После закрытия школы в связи с гражданской войной он продолжал заниматься рисованием в частном порядке со своим школьным учителем Н.Я. Фёдоровым. Затем, в период с 1926 по 1930 год, он учился во Всероссийском высшем художественно-техническом училище (ВХУТЕИН).
После окончания института он работал два года младшим архитектором на Кузнецкстрой, в это время не уделяя много времени живописи. Однако после возвращения в Москву в 1932 году он обратился к своему основному занятию. Его работы начали появляться на выставках, таких как «15 лет РККА» и выставка молодых художников в 1934 году. Во время Великой Отечественной войны он активно работал над агитационными плакатами, рисунками для журналов и листовок.
В его зрелом творческом периоде характерны широкая манера живописи, яркие краски, стремление отобразить новые и важные аспекты жизни советского народа. Наиболее известные его работы включают в себя «Октябрины» (1936), «Утро на Куликовом поле» (1943-1947), «Вечер на пашне» (1959-1960), «На поле» (1959-1960), «Осень» (1961-1962), а также иллюстрации к произведениям Н.В. Гоголя, Т.Г. Шевченко, А.С. Пушкина и других.
За картину «Утро на Куликовом поле» он был удостоен Сталинской премии II степени в 1948 году, а также получил бронзовую медаль на Всемирной выставке в Брюсселе в 1958 году. С 1954 года он был Заслуженным деятелем искусств РСФСР и член-корреспондент Академии художеств СССР.
Сын Александра Павловича, Василий Александрович Бубнов (1942-2021), также был художником.
В 2013 году в городе Аткарске был открыт художественно-этнографический музей, названный его именем, где собраны его личные вещи, произведения и воспоминания современников. Его работы также хранятся в Государственной Третьяковской галерее, Государственном Русском музее, Ульяновском художественном музее, Тверской областной картинной галерее, Челябинском государственном музее изобразительных искусств, Казахской художественной галерее им. Т.Г. Шевченко (Алма-Ата), Днепропетровском художественном музее и других местах.
Умер 30 июля 1964 года. Похоронен в Москве на Новодевичьем кладбище (участок № 6).
