Алексей Васильевич Куркин родился в Харькове в семье рабочего. В 1918 году он присоединился к РККА и участвовал в Гражданской войне. В период боев он занимал различные должности, такие как инструктор пулеметной команды, помощник начальника пулеметного борта бронепоезда, а затем командир бронепоезда на Южном фронте. С 1920 года он был членом ВКП(б).
После Гражданской войны перешел на политическую работу. В 1922 году он закончил Харьковский военно-политический техникум, затем в 1932 году окончил Высшие бронетанковые курсы. В разные периоды времени он занимал должности командира и комиссара отдельного радиобатальона, командира 17-й механизированной бригады, апреля 1938 года — командира 2-й легкотанковой бригады, участвовал в Польском походе РККА.
В 1941 году, в начале Великой Отечественной войны, Алексей Васильевич Куркин командовал 3-м механизированным корпусом, который вошел в состав Северо-Западного фронта и принял участие в Прибалтийской стратегической оборонительной операции. Однако корпус был фактически уничтожен, и Куркин вышел из окружения в полосе обороны Брянского фронта.
После выхода из окружения в 1941 году, Куркин занимал различные командные должности, включая командира 26-й армии и начальника автобронетанковых войск Северо-Западного фронта. Он участвовал в Орловско-Брянской оборонительной операции и Битве за Москву.
В последующие годы Куркин командовал различными военными формированиями, включая 9-й танковый корпус и участвовал в Манчжурской операции в конце Второй мировой войны. После войны он занимал различные должности в советской армии.
Награжден орденом Ленина, 2 орденами Красного Знамени, орденами Кутузова 1 ст., Красной Звезды, медалями.
Алексей Васильевич Куркин умер 16 марта 1948 года в Москве и был похоронен на Новодевичьем кладбище.