Роман Качанов родился 25 февраля 1921 года в городе Смоленске в еврейской семье. Изначально его имя было Рувим, а отец, Абель Менделевич Качанов, работал сапожником.
В 1938 году Роман закончил изостудию смоленского Дворца пионеров, где обучался рисованию под руководством художника Федора Лабренца. На следующий год, в 1939 году, он был призван в Рабоче-крестьянскую Красную армию (РККА) и прошел обучение в летном училище, получив в 1940 году тяжелые травмы при крушении учебного самолета.
Во время Великой Отечественной войны, с 1941 по 1945 годы, Роман служил инструктором парашютно-десантной службы. После войны он перешел в киноотдел Научно-исследовательского института Военно-воздушных сил РККА, где познакомился с мультипликацией.
В 1946 (или 1947) году он окончил курсы мультипликаторов при киностудии «Союзмультфильм» в Москве. С 1947 по 1957 годы работал на «Союзмультфильме» художником-аниматором, ассистентом режиссера и художником-постановщиком. В 1958 году перешел в отделение объемно-кукольной анимации и дебютировал в режиссуре, сняв кукольную ленту «Старик и журавль».
С 1963 года, не прекращая творческой деятельности, прошел курсы повышения квалификации творческих и руководящих кадров при Всесоюзном государственном институте кинематографии (ВГИК).
В период с конца 1950-х по 1980-е годы Роман Качанов снял около 30 анимационных фильмов различных техник и жанров. Среди них такие известные работы, как «Крокодил Гена» (1969), «Чебурашка» (1971), «Тайна третьей планеты» (1981) и другие.
Качанов также был художественным руководителем первого выпуска детского мультипликационного киножурнала «Веселая карусель» (1969) и сотрудничал с сатирическим киножурналом «Фитиль» в 1971-1974 годах.
Качанов был лауреатом Государственной премии РСФСР (1982) и награжден званием Народного артиста РСФСР (1981).
Он преподавал на Высших режиссерских курсах при киностудии «Мосфильм».
Умер 4 июля 1993 года. Похоронен в Москве на Троекуровском кладбище (участок № 10 ст).
