Юрий Пузырёв родился 6 мая 1926 года в посёлке Серебряные Пруды Московской области, но провел своё детство в Ленинграде. В начале Великой Отечественной войны был эвакуирован матерью, Евгенией Арефьевной. Вернулся в Ленинград в 1944 году и поступил в машиностроительный техникум. По просьбе матери был принят в Большой драматический театр для участия в массовках.
В 1948 году, когда из Москвы приехала группа для набора талантливой молодежи в Школу-студию МХАТ, Пузырёв прошёл отбор и в сентябре того же года был зачислен на актёрский факультет, на курс И. М. Раевского. Он успешно окончил школу в 1952 году.
С 1952 по 1958 годы Юрий Пузырёв служил в Центральном театре транспорта, а затем, в 1958 году, был приглашён в МХАТ. После раздела Художественного театра в 1987 году он стал актёром МХАТа имени Горького под руководством Татьяны Дорониной. В марте 1991 года, из-за разногласий с художественным руководством, был вынужден покинуть театр.
В кинематографе Пузырёв дебютировал в 1954 году в фильме Владимира Немоляева «Морской охотник». Он стал широко известен благодаря роли Безайса в фильме «По ту сторону». С этого фильма началось его долголетнее сотрудничество с Александрой Пахмутовой.
Юрий Пузырёв умер 24 мая 1991 года в Душанбе во время гастрольной поездки. Его похоронили в Москве на Троекуровском кладбище.