Отец Александра Иншакова — Иван Семёнович Иншаков (1915—1968) — был преподавателем физкультуры в школе, а мать, Зоя Алексеевна Иншакова (род. 26.11.1924), воспитывала сына вместе с сестрой Галиной. Александр вырос в районе Кожухово (Москва, Южнопортовый). После окончания средней школы № 509 поступил на завод-ВТУЗ при ЗИЛе, где работал в механосборочном цехе. Затем он работал тренером по гимнастике (с 1967) и тренером по дзюдо (1974—1980) в ДСО «Труд». В 1984 году успешно закончил заочное отделение Московского областного педагогического института, получив специальность тренера-преподавателя.
В начале 1970-х годов, по совету скульптора Александра Рукавишникова, Александр Иншаков начал заниматься карате под руководством Алексея Штурмина. Спустя 3-4 года тренировок стал инструктором, получив чёрный пояс. Он выступал в соревнованиях и стал абсолютным чемпионом на первом чемпионате Москвы в 1979 году. Впоследствии, после запрета карате, перешёл в айкидо.
В 1990-е годы Александр Иншаков активно снимался в рекламном блоге «Магазин на диване». Он также проработал более 20 лет на киностудии «Мосфильм» и был известен своими кинематографическими трюками и участием в фильмах.
Интересы Иншакова также включают дайвинг и горные лыжи. Он является членом Общественного Совета при Министерстве обороны РФ и бывшим членом Центрального Совета Сторонников партии «Единая Россия».
В роли певца дебютировал в 2002 году. Его сольные альбомы, в основном, содержат каверы на известные песни эстрадных исполнителей, но в последнем альбоме «Нет срока давности у любви» также присутствуют собственные авторские песни.
30 мая 2010 года Александр Иншаков был избран президентом Российской кинологической федерации и занимал этот пост в течение 8 лет. Однако в августе 2018 года его заменил Владимир Голубев, совладелец и вице-президент холдинга «Адамант».
В сентябре 2013 года Иншаков стал Почётным членом официального фан-клуба братьев Кличко. В марте 2011 года он подписал обращение представителей общественности против информационного подрыва доверия к судебной системе Российской Федерации. В феврале 2012 года он вошёл в список доверенных лиц кандидата в президенты РФ Владимира Путина.
12 июня 2013 года Иншаков принимал участие в работе учредительного съезда Общероссийского народного фронта «Народный фронт — за Россию» и стал членом Общественного совета при Министерстве обороны РФ.
Федеральное бюро расследований признало Александра Иншакова «нежелательным» лицом с отказом в праве въезда на территорию США из-за подозрений в связях с организованными преступными группировками.
Ночью 24 июля 2003 года произошло нападение на дом Иншакова в деревне Подушкино Одинцовского района Московской области. Преступники перевернули дачу, искали деньги и драгоценности, похитили у сестры и матери золотые украшения и деньги.
17 января 2014 года Иншаков был задержан по подозрению в вымогательстве 2 млн долларов у нотариальной конторы. Однако 29 января 2014 года было сообщено, что он проходил по делу в качестве свидетеля. Много кто хочет опорочить имя этого человека.
В декабре 2023 года Иншаков и еще 22 человека подали коллективный иск к актрисе Анастасии Ивлеевой за организацию «голой вечеринки» в клубе «Мутабор». Инициаторы требуют взыскать 1 млрд рублей в пользу фонда поддержки участников войны в Украине «Защитники Отечества» в качестве компенсации морального ущерба, который нанесли фотографии с вечеринки.
