Ефим Березин родился 11 ноября 1919 года в городе Одесса. Вырос в семье, где все, так или иначе, были связаны с искусством. А его отец много лет проработал капельдинером в Одесском цирке, поэтому все детство Ефима прошло именно там. Освоив цирковые номера, он с успехом исполнял их на школьных концертах. Но в цирковые артисты он не пошел. Школьным кружком руководила актриса Одесского театра имени Октябрьской революции Ф. Шнейдер-Коршаковская, благодаря которой Березин полюбил сцену. А в десятом классе на конкурсе школьной самодеятельности за исполнение роли Самозванца в трагедии А.С. Пушкина «Борис Годунов» он был удостоен звания лауреата.
После школы Ефим поступил в Киевский театральный институт, где и познакомился с Юрием Тимошенко. Они встретились на студенческом капустнике и с тех пор практически не расставались. Именно на капустниках проявился их талант в организации и проведении веселых остроумных спектаклей, которые уже тогда пользовались большим успехом у зрителей.
Окончив режиссерский факультет Киевского театрального института в 1941 году, Березин и Тимошенко вместе были зачислены в отряд артистов Ансамбля песни и танца Юго-Западного фронта, с которым с первого дня Великой Отечественной войны выступали перед солдатами. Всю войну они ездили по передовым и госпиталям, выступая дуэтом — Березин в образе повара Галкина, а Тимошенко — банщика Мочалкина, и имели оглушительный успех.
За годы войны Ефим Иосифович был награжден тремя орденами, а также медалями. Новый образ их дуэта — монтер Штепсель (Березин) и милиционер Тарапунька (Тимошенко) — появился уже после войны. С ним в 1946 году молодые артисты приняли участие во II Всесоюзном конкурсе артистов эстрады и стали лауреатами первой премии, а вскоре начали выступать в качестве конферансье в эстрадном театре «Эрмитаж», самом престижном тогда в Москве. Автором их интермедий, которые часто имели злободневный, сатирический характер, стал драматург П.Г. Григорьев. Сами артисты использовали импровизацию, эксцентрику, буффонаду и гротеск.
Также в 1946-1948 годах Березин был режиссером Киевского русского драматического театра Леси Украинки, а затем актером и главным режиссером Украинской республиканской эстрады. Очень быстро Березин и Тимошенко стали сами создавать концертные номера и эстрадные спектакли, где героями были, конечно же, Тарапунька и Штепсель. Среди самых известных: «Везли эстраду на декаду», «Ровно 20 с гаком», «Смеханический концерт», «От и до», «Беспокойтесь, пожалуйста» и другие. В ряде постановок они работали в содружестве с драматургами Р. Виккерсом и А. Каневским. Штепсель и Тарапунька Благодаря таланту, творческому подходу, трудоспособности и необыкновенному чувству юмора, этот дуэт и их номера более сорока лет пользовались большим успехом и непреходящей популярностью у зрителей.
Артисты проехали с гастролями не только весь Советский Союз, но также выступали в Польше и Шотландии. Помимо выступлений на эстраде Березин снимался и в кино (причем, как один, так и с Тимошенко). Среди картин с его участием: «Шуми городок» (1939), «Тарапунька и Штепсель под облаками» (1954), «Веселые звезды» (1954), «Приключения с пиджаком Тарапуньки» (1955), «Штепсель женит Тарапуньку» (1958), «Ехали мы, ехали…» (1962), «Легкая жизнь» (1964) и другие. В ряде картин они выступили не только как исполнители главных ролей, но и как сценаристы и режиссеры. Участвовали они и во многих телепередачах. После смерти своего друга и партнера Юрия Тимошенко в 1986 году, Березин некоторое время выступал один.
А в начале 1990-х годов он поехал в гости к дочери, которая жила в Израиле. Там Ефим Иосифович перенес инфаркт и по настоятельной рекомендации врачей из-за состояния здоровья не смог вернуться на Украину и остался жить в Израиле, получив там гражданство и квартиру. Однако и на сцену он тоже не вернулся. Последние годы жизни талантливого артиста были омрачены тяжелой болезнью и смертью супруги.
Народный артист Ефим Иосифович Березин умер 21 мая 2004 года в Тель-Авиве (Израиль) и был похоронен на кладбище Яркон в Петах-Тикве, недалеко от Тель-Авива.
