Родившийся 17 (30) марта 1901 года в селе Лоцманская Каменка Екатеринославской губернии Российской империи (ныне в черте города Днепр) украинец, Александр Фёдорович Корытов начал свою карьеру как работник у подрядчиков в 1916—1920 годах. В 1920 году он добровольцем вступил в РККА и служил в 9-й кавалерийской и 3-й дивизиях. С 1924 по 1929 год он работал плотником (крепильщиком тоннеля) на Мерефо-Херсонской железной дороге в Екатеринославе.
Корытов стал членом КПСС с 1927 года. В 1929—1930 годах он был старшим крепильщиком тоннеля при строительстве Рионской ГЭС в Грузии. Затем, в 1930—1931 годах, он занимал должность старшего десятника и замначальника строительства Днепропетровского института инженеров железнодорожного транспорта. В 1931—1932 годах он проходил обучение в Чернигове на курсах техников начального комбината управления железнодорожного строительства, получив квалификацию младшего техника.
В период с 1932 по 1938 годы, Корытов занимал различные партийные и общественные должности в Черниговской области, включая председателя Корюковского райсовета профсоюзов и руководящие позиции в райкомах и районной контрольной комиссии. С 1938 года он стал первым секретарем Черниговского обкома КП(б) Украины.
В период Великой Отечественной войны, с сентября 1941 года, Александр Корытов был первым секретарем Черниговского и Волынского подпольных обкомов партии. С марта 1943 года он также командовал Черниговско-Волынским партизанским соединением НКВД СССР, осуществлявшим операции на Украине, в Белоруссии и в Брянских лесах России. Под его руководством отряды партизан стали эффективным соединением, проводившим важные боевые операции.
После войны, с 1944 года, Корытов занимал позиции первого секретаря Херсонского, с 1950 года — Измаильского, с 1952 года — Житомирского обкомов Компартии Украины. С 1957 по 1979 год он занимал должность министра социального обеспечения УССР.
Александр Фёдорович Корытов ушел из жизни 28 декабря 1979 года и был похоронен на Байковом кладбище в Киеве. Памятник ему был создан скульптором А. А. Ковалёвым и архитектором О. К. Стукаловым.
