Родился 21 декабря 1937 года в Ленинграде, в семье кинорежиссёра Александра Файнциммера. При поступлении во ВГИК сменил фамилию отца на фамилию матери — Квинихидзе. В 1962 году окончил режиссёрский факультет ВГИКа (мастерская Ильи Копалина и Григория Козинцева).
В 1960—1963 годах работал на Центральной и Ленинградской студиях документальных фильмов, снимал хроникальные фильмы, среди которых «Бип остаётся в Ленинграде» о Марселе Марсо, «Бенни Гудмен и его джаз» о Бенни Гудмене и «Эдуардо де Филиппо», посвящённый знаменитому драматургу. Особое признание получил документальный фильм «Маринино житьё». В 1963 году Квинихидзе стал режиссёром киностудии «Ленфильм», а с 1977 года работал на «Мосфильме».
В художественном кино режиссёр дебютировал в 1965 году фильмом «Первый посетитель». В 1973 году экранизировал роман А. Н. Толстого «Гиперболоид инженера Гарина» (многосерийный художественный фильм «Крах инженера Гарина»). Фильм подвергся критике, и режиссер сменил амплуа, перейдя к постановке мюзиклов.
Наибольшую известность режиссёру принесли его музыкальные фильмы: «Соломенная шляпка», «Небесные ласточки», «31 июня», «Шляпа» и «Мэри Поппинс, до свидания».
В 1992 году поставил фильм «Белые ночи», где перенёс действие повести Достоевского в наше время.
Квинихидзе был главным режиссёром и художественным руководителем Московского государственного театра «Мюзик-холл», режиссёром Одесского театра музыкальной комедии, а в 1999—2001 также художественным руководителем и главным режиссёром Крымского УАМТ.
С 2003 по 2006 год был режиссёром в Новосибирском театре музыкальной комедии, а с 2006 по 2008 год — главным режиссёром Санкт-Петербургского государственного музыкального театра «Карамболь». Потом был приглашён на пост художественного руководителя и главного режиссёра в Хабаровский краевой музыкальный театр, но был уволен за полгода до конца контракта в 2011 году.
Скончался в Санкт-Петербурге 13 марта 2018 года после продолжительной болезни. Похоронен 16 марта в Санкт-Петербурге на Шушарском кладбище (сектор Г-2) рядом со своей третьей женой Е.С. Ельфимовой.
