Константин Скоробогатов родился 6 марта 1887 года в селе Александровском (ныне в черте Санкт-Петербурга). Он окончил церковно-приходскую земскую школу в 1897 году и начал работать на Обуховском заводе с 10 лет. Затем он прошел обучение военно-технической школе при заводе и в 1903—1904 годах учился в Императорском лесном институте (ныне — Санкт-Петербургский государственный лесотехнический университет).
С 1905 года он начал выступать на сценах любительских театров петербургских окраин. В период с 1917 по 1918 годы он работал актером в Петроградском театре Павловой «Привал комедиантов», а затем с 1918 по 1920 годы — актером и режиссером в Саратовском губернском театре (ныне — Саратовский театр драмы имени И. А. Слонова), с 1920 по 1922 годы — в Самарском городском театре, с 1922 по 1925 годы — в Ленинградском театре имени А. В. Луначарского при Путиловском заводе, и с 1925 по 1926 годы — в Иркутском городском «Красном театре».
В 1926 году он вернулся в Ленинград, где с 1926 по 1927 годы играл в Ленинградском театре Строителей, а с 1928 по 1935 годы — в Большом драматическом театре (ныне — имени Г. А. Товстоногова). С 1936 года он работал актером в Ленинградском театре драмы имени А. С. Пушкина (ныне — Александринский театр), а с 1951 по 1958 годы занимал должность директора театра.
Скоробогатов также снимался в кино с 1936 года. Его работы включают фильмы «Пугачёв», «Разгром Юденича», «Небесный тихоход», «Пирогов», «Киевлянка» и другие. Он также является автором книги «Жизнь и сцена» (1970).
Актёр жил в Ленинграде на Бородинской улице, д.13 (дом театральных работников), и на Дворцовой наб., д.12-16, где установлена мемориальная доска. Он скончался 28 июля 1969 года в Ленинграде (ныне — Санкт-Петербург) и был похоронен на Литераторских мостках Волковского кладбища.
