Андрей Болтнев родился 5 января 1946 года в Уфе (Башкортостан). Его мать, Нина Константиновна Добжинская (Болтнева), родилась 23 января 1918 года и умерла 30 августа 1998 года. Она была преподавателем труда в школе и чемпионкой СССР по мотокроссу. Дед Андрея, Константин Андреевич Добжинский (1889—1966), был народным артистом Грузинской ССР, а бабушка, Нина Леонидовна Иртеньева, — заслуженной артисткой РСФСР.
В свидетельстве о рождении Андрея указано имя Андрей Вячеславович Тусов, так как его родной отец, Вячеслав Тусов, служивший в милиции, погиб при локализации преступной группы в 1951 году. В детстве матери вышла замуж за Николая Болтнева, капитана дальнего плавания, который стал отчимом для Андрея. Семья переехала в портовые города — Севастополь и Туапсе. При получении паспорта Андрей сменил отчество и фамилию.
Андрей проходил срочную службу в ВВС в составе ГСВГ. С 1970 по 1972 год учился в Ярославском театральном училище. После окончания учебы работал в театрах Уссурийска, Майкопа и Новосибирска. В 1985 году заочно окончил Ташкентский театрально-художественный институт имени А. Н. Островского.
Дебют Андрея на киноэкране состоялся в 1983 году в фильме Семёна Арановича «Торпедоносцы». Его популярность пришла с ролью в телесериале «Противостояние» (1985), основанном на романе Юлиана Семёнова.
Актер стал широко известен после выхода фильма Алексея Германа «Мой друг Иван Лапшин» в период перестройки. На рубеже 1980-х — 1990-х годов сыграл роли в телефильме «Белые одежды» и детективе «Кодекс бесчестия».
В 1985 году, после приглашения в театр имени Вл. Маяковского, Болтнев перебрался в Москву. Он скончался 12 мая 1995 года от инсульта. Похоронен на Востряковском кладбище в Москве.
