Родился в семье военного. Предки отца по происхождению — белорусы. Детство провёл в городе Измаиле Одесской области. В Таллине впервые попал в театральный кружок, где его учителем стал актёр местного драмтеатра Иван Россомахин. В 1962 году Ясулович окончил актёрский, а затем, в 1974 году, и режиссёрский факультет ВГИКа.
С 1962 года — актёр Экспериментального театра-студии пантомимы («Эктемим»), в 1964—1994 годах — Театра-студии киноактёра, с 1994 года — Московского ТЮЗа.
В кино с 1961 года (более 320 ролей, первая роль — физик Фёдоров — в фильме «Девять дней одного года»), снимался преимущественно в ролях второго плана и эпизодах.
Игорь Ясулович на юбилейном показе (30 лет) фильма «Мио, мой Мио» в Российской государственной детской библиотеке
Обладатель уникального узнаваемого голоса, красивого тенорального тембра, богатого эмоциональными оттенками. Актёр пользуется большой популярностью при озвучивании фильмов и мультфильмов. Режиссёр-постановщик нескольких фильмов. Совместно с Александром Тителем преподаёт в своей мастерской в ГИТИСе, на факультете актёрского искусства музыкального театра. Также ведёт свою актёрскую мастерскую во ВГИКе.
Ясулович был звездой и курса, и всего института. Он умел всё и любил куражиться. Его будущая супруга Наталья рассказывала, что во время ухаживаний он чего только не придумывал. Например, мог на эскалаторе в метро вдруг закричать: «Девушка! Что вы делаете! Не приставайте ко мне!».
«Сначала я стеснялась, — вспоминала Наталья Юрьевна. — А потом начала подыгрывать»…
С будущей женой Ясуловича познакомил их общий друг Всеволод Абдулов. Устроил им свидание в ресторане «Будапешт» 31 августа. А уже 1 сентября вечером Игорь позвонил Наталье: «Ты можешь сегодня встретиться? Потому что если мы не будем встречаться каждый день, я так не смогу»…
Невесте было всего 18, и ее родители были настроены против раннего брака. Влюбленные честно подождали год и расписались. Сразу из ЗАГСа жених сбежал на репетицию.
Отцом Натальи был знаменитый режиссер Юрий Егоров («Однажды двадцать лет спустя», «Отцы и деды»). И, конечно, нашлись те, кто обвинил молодого провинциала в женитьбе по расчету. «Если бы я такое услышала, — признавалась Наталья Егорова. — Дала бы подзатыльник».
Они прожили вместе больше 60 лет, у них родился сын Алексей, потом появились две внучки…
В марте 2014 года вместе с рядом других деятелей культуры подписал обращение против политики российской власти в Крыму. Осуждать актёра, за это, наверное, не стоит. Находясь в возрасте и несветлом рассудке, не знал, что творил.
Ясулович много снимался до самых преклонных лет. При всей своей внутренней интеллигентности и доброте он великолепно справлялся с образами негодяев и опустившихся алкоголиков. Он в принципе очень любил играть. Его друзья и родные рассказывали, что в компании Ясуловича с юности любили показывать небольшие зарисовки и отгадывать шарады. Например, среди прочего у Ясуловича была фирменная миниатюра «пьяный в метро».
Народный артист России Игорь Ясулович умер на 82-м году жизни.
