Родился в деревне Малое Коровино Рязанской губернии. С 1932 года жил в Москве. В 1935 году окончил 7 классов школы, в 1938 году — 2 курса Московского финансово-экономического техникума. Работал налоговым инспектором в Москве.
В октябре 1940 года призван в Красную Армию. Служил в танковых войсках в Среднеазиатском военном округе. В 1941 году окончил полковую школу.
Великую Отечественную Войну Александр Петрович встретил в звании старшего сержанта и командира лёгкого танка Т-26 209-го танкового полка 104-й танковой дивизии. Участник сражений за Смоленск, Ельню и Сталинград, где был дважды тяжёло ранен.
С января 1943 года обучался в Полтавском танковом училище, находившемся в эвакуации в городе Мары (Туркменистан). В январе 1944 года окончил это училище.
С января по июнь 1944 года — командир танка Т-34-85 в ряде запасных танковых полков.
Оськин и его экипаж одними из первых начали осваивать новейшую модификацию танка Т-34 с увеличенной башней и новым 85-мм танковым орудием, позволявшее сражаться на равных с «Тиграми» и «Пантерами»
С июня 1944 года гвардии младший лейтенант Оськин служил в 53-й гвардейской танковой бригаде командиром танка Т-34-85.
Летом 1944 года войска 1-го Украинского фронта Маршала Советского Союза Ивана Конева вступили на территорию Польши. Передовые части фронта форсировали Вислу, захватили два плацдарма в районе города Сандомир и южнее — возле Баранува-Сандомирского.
Германскому командованию было крайне необходимо выиграть время, чтобы провести тотальное перевооружение армии. Немецкие генералы возлагали большие надежды на вундерваффе — чудо-оружие. Они рассчитывали нанести тяжелые потери союзникам и принудить их к подписанию мирного договора на приемлемых для Германии условиях. Однако стремительное продвижение советских войск на юге Польши в корне изменило ситуацию.
Чтобы остановить наступающие войска Конева, командование вермахта поставило задачу: силами 4-й танковой и 17-й полевой армий разгромить и уничтожить советские части в районе Сандомира. Немецкая 16-я танковая дивизия была усилена 501-м тяжёлым танковым батальоном, укомплектованный новыми танками «Королевскими Тиграми».
Новые тяжёлые танки «Королевский Тигр» («Тигр II») успели себя зарекомендовать в боях летом 1944 года в Нормандии. В районе Кана (важного транспортного узла на севере Франции), «Тигры II» из 503-го тяжёлого танкового батальона нанесли серьёзные потери наступающим англо-канадским войскам, уничтожив с десяток «Шерманов». 150-миллиметровая лобовая броня и длинноствольная 88-миллиметровая пушка делали танк неуязвимым для большинства имевшихся противотанковых средств. Лишь массированный огонь тяжёлой и полевой артиллерии, и авиаудары союзников помогали бороться с этой новой угрозой.
Западные союзники сообщили советскому Верховному главнокомандованию о новых немецких танках.
Замысел командующего группой армий «Северная Украина» генерал-полковника Йозефа Гарпе был таков: 3-й танковый корпус, используя неуязвимые «Королевские тигры» в качестве тарана, должен был проломить оборону в направлении Шидлув — Сташув. Затем выйти к переправам и уничтожить их. Одновременно на юге Сандомирского плацдарма планировалось нанести вспомогательный удар вдоль Вислы с целью отрезать оборонявшие плацдарм советские войска.
11 августа 1944 года, в 8 часов утра, советские позиции атаковали 15 «Королевских тигров», 7 «Пантер», 8 самоходных установок «Штуг» под прикрытием немецкой мотопехоты — панцергренадёров. Оборонявшая Шидлув стрелковая дивизия, усиленная двумя противотанковыми полками, неожиданно оказала серьёзное сопротивление. Лишь к полудню, когда немецкое командование бросило в бой 30 «Королевских тигров» и еще около 50 «Пантер» и «Штугов», советские части стали отходить.
К вечеру немецкие части захватили Шидлув и сосредоточились в районе поселка Оглендув на полпути к Сташуву. Генерал-полковник Гарпе отбил победную телеграмму Гитлеру об успешном начале наступления. 53-я гвардейская танковая бригада была единственной силой на их пути, способной оказать сопротивление.
Тогда командование бригады решило подготовить наступающим немцам сюрприз в виде танково-артиллерийской засады, в которой участвовали 122-мм пушки А-19, средние танки Т-34, тяжёлые танки ИС-2 и тяжёлые самоходки ИСУ-152.
Поздно вечером 11 августа Оськина, как и других офицеров, командир бригады гвардии полковник Василий Архипов посвятил в планы немцев, которые удалось узнать от пленного: утром 12-го противник нанесет удар по Сташуву. В наступлении примут участие немецкие тяжёлые танки неизвестного типа. Пленный также показал, что немцы ожидают встретить сопротивление лишь под Сташувом.
Поэтому командир 53-й бригады приказал выдвинуть батальоны ближе к Оглендуву, где немцы не ожидали встретить советских танкистов. Он приказал укрыть танки и противотанковые батареи на обратных скатах пологих холмов на выходе дороги из лощины. Таким образом, немецкие танки лишались своего главного преимущества — губительного огня с большой дистанции. Три советских танка должны были стать «заигрывающими». Они первыми открывали огонь, заставляя немецкие машины развернуться к позициям бригады бортом. Затем, по замыслу командира, все огневые средства должны были по команде открыть огонь, а «заигрывающие» танки — отойти.
Самое опасное место отвели Т-34 Александра Оськина. Его позиция была ближе других к дороге и располагалась фактически на открытом месте.
Около 7 часов утра по дороге проехал немецкий разведдозор — несколько мотоциклистов, бронеавтомобиль и бронетранспортер с пехотой. Их пропустили. Спустя несколько томительных минут из лощины показался головной «Королевский тигр». В предрассветном тумане огромный танк казался призраком. Из лощины показался второй исполин. Казалось, такому пушка «тридцатьчетверки» не может причинить вреда. Когда третий гигант поравнялся с засадой, Александр скомандовал: «Огонь!»
Первый снаряд ударил «Королевского тигра» в борт башни и с визгом отрикошетил. Наводчик поправил прицел и ударил под башню. «Королевский тигр» загорелся. Снаряд пробил броню и вызвал взрыв баков. Начался обстрел. Тем временем, из лощины поднимались ещё 8 «Королевских тигров» в сопровождении «Пантер» и «Штугов». Танкистам удалось подбить ещё две немецкие боевые машины. В небе над лощиной появилась советская авиация, которая добила остатки ударной группы фашистов.
За трое суток непрерывных боёв в период с 11 по 13 августа 1944 года в районе Сташува и Шидлува частями 6-го гвардейского танкового корпуса было захвачено и уничтожено 24 вражеских танка, 12 из которых являлись новыми тяжёлыми танками «Тигр II».
13 августа танкисты 6-го корпуса перешли в атаку. Экипаж Оськина одним из первых ворвался в Оглендув и уничтожил десятки вражеских солдат. Группа Т-34-85 выскочила из леса на поле, где находились танки «Тигр II», которые увязли в грунте приблизительно на 20 сантиметров, потеряв подвижность. Советские танки быстро сблизились, смешались и стали обстреливать танки противника, башни которых не успевали вращаться. В результате, экипажи вынуждены были покинуть свои обездвиженные машины и бежать с поля боя, даже не успев подорвать брошенную технику.
3 «Тигра II» с башенными номерами 102, 502, 234 были захвачены в исправном состоянии, полным боекомплектом и с полностью заправленными бензобаками. Все три танка были направлены в Кубинку, в Научно-исследовательский испытательный институт бронетанковой техники (НИИИБТ) «Полигон» для изучения. Сейчас «Королевский Тигр» №502, захваченный у Оглендува, можно увидеть в Бронетанковом музее в Кубинке.
Исход боя имел важное значение для Сандомирского плацдарма. Войска маршала Конева удержали плацдарм и начали готовиться к боям нового 1945 года. Именно с него начали свой бросок к Одеру танковые армии Рыбалко и Лелюшенко к Одеру.
План генерала Гарпе с треском провалился. Позднее, сам Йозеф Гарпе за потерю Варшавы 17 января 1945 года будет отстранён от командования группой армий «А» (бывшей «Северной Украины») и переведён на Западный фронт, где он попадёт в американский плен.
За этот бой Александра Оськина прозвали «Укротителем «тигров».
За образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с немецкими захватчиками и проявленные при этом отвагу и геройство, Указом Президиума Верховного Совета СССР от 23 сентября 1944 года гвардии младшему лейтенанту Оськину Александру Петровичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда».
Командир орудия, гвардии старший сержант Абубакир Мерхайдаров был удостоен ордена Красного Знамени. Остальной экипаж получил ордена Отечественной войны II степени: механик-водитель Александр Стеценко, стрелок-радист Александр Грудинин, и заряжающий Алексей Халчев.
С января 1945 года Александр Оськин — слушатель командного факультета Военной академии бронетанковых и механизированных войск, но из-за последствий контузии в декабре того же года был вынужден прекратить обучение. До декабря 1951 года служил в парке учебных машин Военной академии бронетанковых и механизированных войск: старшим механиком-водителем, командиром взвода, заместителем командира и командиром роты иностранных танков. Освоил все типы отечественных и несколько типов зарубежных танков того периода.
В 1952 году окончил Ленинградскую высшую офицерскую бронетанковую школу. В 1952 -1954 гг.- начальник штаба учебно-паркового батальона обеспечения Военной академии бронетанковых и механизированных войск.
В 1957 году окончил Военную академию бронетанковых войск. Продолжал службу в танковых войсках: был командиром танкового батальона в Венгрии и командиром батальона учебно-боевых танков учебного танкового полка в Московском военном округе.
В 1964-1971 гг. — преподаватель и старший преподаватель военной кафедры Московского института стали и сплавов. С октября 1971 года — в запасе.
В 1971-1972 годах работал старшим инженером в Московском институте стали и сплавов, в 1972-1985 гг. — военруком в Московском механико-технологическом техникуме пищевой промышленности.
Александр Петрович Оськин скончался 21 февраля 2010 года в возрасте 89 лет. Похоронен на Кузьминском кладбище в Москве.
