Игорь Савочкин родился 14 мая 1963 года в селе Березовка, Саратовская область. Его отец трудился в Саратовском областном управлении культуры, а позже стал главным редактором газеты «Труд». Мать работала учителем в школе. Молодой человек не собирался становиться актером. Окончив школу, стал студентом Саратовского института механизации сельского хозяйства. Во время учебы юноша все-таки увлекся театром и даже подумывал забросить вуз, но благодаря матери все же закончил его и получил диплом инженера. Как молодой специалист, по распределению полтора года работал по технической специальности.
В 1982 году, когда Игорь Савочкин еще учился на первом курсе, друг его отца набирал театральную студию. Юноша долго сомневался и решил попробовать свои силы на актерском поприще. Два года являлся активным участником театральной студии Владимира Захаровича Федосеева, режиссера Саратовского театра юного зрителя.
Позднее, в 1991 году Савочкин окончил актерский факультет Государственной Саратовской консерватории, курс Риммы Беляковой. Сразу же после завершения учебы приглашен в Московский театр Сергея Кургиняна «На досках» и не долго думая переехал в Москву. Одновременно участвовал в спектаклях театра «На Покровке» Сергея Арцыбашева. Самая известная работа в театре «На досках»: главная роль Максима Каммерера в спектакле «Обитаемый остров» по произведениям братьев Стругацких.
В кино Игорь Юрьевич пришел в 1993 году. Именно тогда вышел на экраны фильм-биография про Льва Давидовича Троцкого «Троцкий», в котором актер сыграл роль красного командира. В том же году зрители увидели фильм Бориса Бланка «Если бы знать». В этой свободной интерпретации пьесы Антона Павловича Чехова «Три сестры» Игорь Савочкин сыграл роль Протопопова. Снимался артист и в небольших ролях у Александра Бланка в фильмах «Если бы знать» и «Тьма», российско-японском фильме «Тайный агент».
В конце 1990-х годов настало непростое время для театров и кино. Игорь подрабатывал сторожем на кладбище, продавцом, таксистом. Пришлось вернуться в Саратов. Следующие семь лет Игорь работал диктором, ведущим информационной программы, выходящей в прямом эфире на Саратовской FM-радиостанции «Ностальжи».
Второе возвращение в Москву стало для Игоря стало более успешным. Сниматься в кино начал лишь в 2004 году. С тех пор ежегодно Савочкин участвует в трех-четырех фильмах и сериалах. После длительного перерыва на экраны вышло множество фильмов и сериалов с его участием: «Ночной дозор» и «Дневной дозор» роль Максима Ивановича; «Ирония судьбы. Продолжение» роль Коли-пограничника; мелодрама «Русалка», художественный фильм «Адмирал» роль генерал-лейтенанта Войцеховского.
С ноября 2014 до сентября 2015 года Савочкин вел передачу «Теория заговора» на Первом канале, где с нового сезона его сменил Михаил Мамаев. Помимо этого Игорь снялся в нескольких музыкальных клипах: «Я не колдунья» Надежды Кадышевой, «Девочка по городу» Вячеслава Бутусова, «Жара» Юлии Чичериной, «Ночная музыка» скрипичного дуэта Вибрация.
В творческой биографии Игоря Юрьевича серьезную роль сыграли библейские сюжеты. Артист появился в драме «Левиафан», российском фильме, который завоевал популярность по всему миру. Картина получила ряд престижных наград и премий. В 2015 году Савочкин сыграл главную роль в американском проекте. Актер исполнил роль полковника Белоусова в драме «Код Каина», производством которой занимались Россия, Беларусь и США. Фильм также обращается к библейскому сюжету: сказанию о Каине и Авеле, который находит продолжение и сегодня.
В том же году актер появился в еще одном фильме, получившем международную популярность, на этот раз в детективном сериале «Метод» с Константином Хабенским в главной роли. Актер исполнил роль маньяка «Дачника». «Метод» стал первым самостоятельным и самобытным российским сериалом, получившим такую популярность в Америке и Европе.
В 2016 году Игорь Савочкин появился в роли Князя в детективном сериале «Следователь Тихонов», экранизации серии детективных романов Аркадия и Георгия Вайнеров. Персонаж появился в пятом фильме сериала под названием «Я, следователь».Также в 2016 году актер снялся в короткометражке «Гардеробщица» в жанре трагифарс и психологический триллер.
В следующем, 2017 году артист появился в криминальной ретро-драме «Непокорная» и военной драме «Пес Рыжий» по книге «Рыжий солдат» Виктора Крюкова, а также исполнил роль Ратимира в саге «Легенда о Коловрате»: историческая драма режиссеров Джаника Файзиева и Ивана Шурховецкого.
Съемки в кино Игорь Савочкин совмещает с работой в кинокомпании режиссера Тимура Бекмамбетова «Базелевс продакшн». Занимается озвучиванием, обработкой, редакцией, монтажом видеоматериалов после съемки эпизодов фильмов.
Одаренный человек одарен во многих вещах. Игорь Савочкин не исключение. Актер мастер спорта по фехтованию. Этому увлечению посвятил десять лет своей жизни, которое ни раз пригождалось ему в нынешней профессии. К тому же, в театральном институте преподавал студентам курс владения рапирой в течение четырех с половиной лет.