Евгений Весник родился 15 января 1923 года в городе Санкт-Петербурге. Его отец Яков Ильич был видным деятелем большевизма и личным другом Серго Орджоникидзе. В 1930-х годах Яков Ильич занимался строительством, а позже стал первым директором завода «Криворожсталь». Однако после смерти Орджоникидзе началась расправа с его родственниками и знакомыми. Отец был арестован и расстрелян, мать отправлена в ссылку в Казахстан, а Евгений был помещен в детский дом.
С 1941 по 1945 годы Евгений Весник участвовал в Великой Отечественной войне. За свою отвагу он был награжден двумя медалями «За отвагу», а также орденами Красной Звезды и Отечественной войны второй степени. После войны он поступил и успешно окончил Театральное училище имени Михаила Щепкина, после чего вошел в постоянную труппу драматического театра имени Константина Сергеевича Станиславского. В 1954 году он перешел в театр Сатиры, а с 1963 года и до конца своей жизни (почти тридцать лет) служил в московском академическом Малом театре.
Евгений Весник дебютировал в кино в роли Родриго в фильме Сергея Юткевича «Отелло». После премьеры кинокомедии «Трембита» его начали узнавать на улице. В 1960-е и 1970-е годы Весник снимался во многих фильмах, включая «Семь стариков и одну девушку», «Вас вызывает Таймыр», «Офицеры», «Летучая мышь». Евгений Яковлевич охотно снимался в детском игровом и анимационном кино. На фильмах с его участием выросли несколько поколений детей, таких как «Старик Хоттабыч», «Умные вещи», «Чудак из пятого «
В 1979 году Евгения Весника пригласили сыграть учителя математики в научно-фантастическом фильме «Приключения электроника». Актер сыграл настолько убедительно, что вскоре после выхода фильма он получил письмо от учеников одной школы с просьбой приехать преподавать им математику. В 1990-е годы Весник продолжал сниматься. Среди его самых известных работ того времени — роль доктора в комедии «Ширли-Мырли» и роль в экранизации романа Михаила Булгакова «Мастер и Маргарита», который так и не вышел на экраны.
Весник был автором 20 книг и написал ряд сценариев для радио и телевидения. Он был членом Союза кинематографистов СССР, Союза театральных деятелей Российской Федерации и Союза писателей СССР. Кроме того, он много работал над дубляжем фильмов, блестяще дублируя почти все фильмы Марчелло Мастроянни. С 1992 года Весник работал по контракту, ставя спектакли в московских театрах и на телевидении. Он также был театральным режиссером.
В последние годы у артиста были проблемы со здоровьем. В 2005 году он перенес пневмонию, а 7 апреля 2009 года у него случился инсульт.
Евгений Яковлевич Весник скончался 10 апреля 2009 года от инсульта в одной из московских больниц. Народный и заслуженный артист России был похоронен на Ваганьковском кладбище в столице.
