Роман Карцев родился 20 мая 1939 года в Одессе в семье еврейских происхождения. Его отец, Аншель Лейзерович Кац (1912—1978), был футболистом и участником Великой Отечественной войны. После ранения и демобилизации в 1946 году он работал как судья матчей второй лиги чемпионатов Украинской ССР, а также тренер. Мать Романа, Сура-Лея (в быту Соня) Рувиновна Фуксман (?—1978), занималась организационной работой на обувной фабрике.
До начала Великой Отечественной войны семья жила в Тирасполе, где отец играл за тираспольскую команду во второй лиге чемпионата СССР по футболу. Во время войны Роман, вместе с матерью и братом, был эвакуирован в Омск; его бабушки и дедушки, оставшиеся в Одессе, погибли.
После демобилизации отца семья вернулась в Одессу. Роман окончил школу в 1956 году и устроился наладчиком на швейную фабрику «Авангард». Также он начал выступать в драмкружке Дома культуры моряков. В 1960 году он присоединился к самодеятельному студенческому театру «Парнас-2» при одесском институте инженеров морского флота, где познакомился с будущим партнером Виктором Ильченко.
В 1972 году Роман Карцев окончил актёрский факультет ГИТИСа заочно.
В 1961 году Роман Карцев переехал в Ленинград и 22 ноября 1962 года поступил в Театр миниатюр Аркадия Райкина, где взял сценический псевдоним. В 1969 году Карцев, Ильченко вернулись в Одессу. В 1970 году они стали лауреатами Всесоюзного конкурса артистов эстрады.
Выступая с Виктором Ильченко, Карцев приобрёл большую популярность. Благодаря трансляциям по телевидению и выступлениям в программе «Вокруг смеха» стали известны номера «Авас» и «Раки». На фирме грамзаписи «Мелодия» вышла пластинка с миниатюрами в исполнении дуэта Карцев и Ильченко, а также распространялись магнитофонные записи их выступлений.
В 1979 году Карцев и Ильченко переехали в Москву и начали работать в Московском театре миниатюр, где участвовали в постановках спектаклей «Избранные миниатюры», «Когда мы отдыхали», «Хармс! Чармс! Шардам! или Школа клоунов», «Птичий полёт» и «Полночное кабаре». С 1987 года они выступали в Московском театре миниатюр.
В 1998 году Карцев стал лауреатом Кубка Аркадия Райкина на Международном фестивале «MORE SMEHA» в Риге. После смерти Виктора Ильченко в 1992 году Карцев выступал на эстраде с моноспектаклями и участвовал в постановках «Моя Одесса» и «Зал ожидания». В его репертуаре также произведения Чехова, Хармса и Зощенко. Карцев выступал в театре «Эрмитаж» Михаила Левитина и театре эстрады.
Он ушел из жизни 2 октября 2018 года в Москве на 80-м году жизни после инсульта, перенесенного около трех месяцев ранее. Прощание с актёром состоялось 4 октября 2018 года в Центральном доме литераторов. Роман Карцев похоронен на Аллее актёров Троекуровского кладбища.