Игорь Васильев родился 20 мая 1938 года в Москве. Его отец был известным архитектором, собравшим огромную библиотеку, что привило Игорю любовь к чтению с детства.
В 1961 году Васильев окончил Школу-студию МХАТ (курс А. Карева), а в 1973 году – Высшие курсы сценаристов и режиссеров. С 1961 по 1963 годы он был актером и режиссером МХТ. С 1963 по 1970 годы служил в театре «Современник«, а затем вернулся в МХТ, где работал до 2007 года. Марина Брусникина вспоминала о нем: «Он был ни на кого не похож. Невероятно красивый мужчина и интересный человек. Удивительная личность. Ничего напоказ. Он первым открыл Л. Петрушевскую и привел ее в театр».
Кинокарьера Игоря Васильева началась в 1964 году с ролью Сенечки в фильме «Город — одна улица». За свою жизнь он сыграл более чем в 30 фильмах. Среди его известных ролей – барон Шлоссер в фильме «Вариант «Омега», где он сыграл вместе с Олегом Далем, и участие в фильме «Трактир на Пятницкой».
Последние годы Васильев практически не снимался в кино, сосредоточившись на театре. Поклонники могли увидеть его на сцене МХТ им. Чехова. Его последней премьерой стал спектакль «Тутиш», за два месяца до его кончины, где он сыграл роль старика Али.
Последней большой киноработой Васильева стала картина «Искушение Дирка Богарда». Дирк Богард, любимый актер Висконти, стал центральной фигурой в фильме режиссера Кирилла Мозгалевского. Мозгалевский вспоминал: «Найти актера на роль Богарда было сложно, но Васильев идеально подошел. Его аристократизм, манера держаться и глубокое содержание сделали его идеальным выбором».
Алена Яковлева, сыгравшая с Васильевым в этом фильме, говорила: «Игорь Алексеевич был замкнутым человеком. Ему не хотелось сниматься в сериалах. Он был глубоко индивидуальным актером». Васильев обладал изысканным вкусом, любил модно одеваться и использовал свой гардероб на съемках. В «Искушении Дирка Богарда» он снялся в своем пальто, подаренном Славой Зайцевым.
Игорь Васильев был интеллигентным человеком, любившим самообразование и разговоры на разные темы. Марина Брусникина вспоминала, как он любил ходить в кино и обсуждать фильмы. Он всегда имел свое мнение, которое высказывал только по просьбе.
Личная жизнь Васильева была непубличной. Он был женат на Ирине Мирошниченко, и после развода они продолжали дружить новыми семьями.
Игорь Васильев скончался 23 декабря 2007 года от сердечного приступа и был похоронен на Троекуровском кладбище в Москве. Марина Брусникина сказала о нем: «Он был очень редкий человек в смысле тишины, достоинства и интеллигентности». Спектакль «Тутиш» 30 декабря 2007 года был сыгран в его память.