Александр Леньков родился 17 мая 1943 года в Рассказове Тамбовской области, где находился всего месяц, после чего его семья переехала в Москву, где прошли его детство и юность. Мать, Ольга Дмитриевна, была выпускницей Московского педагогического института и преподавала высшую математику. Отец, Сергей Сергеевич, работал инженером по ракетным технологиям.
Леньков дебютировал на сцене в возрасте десяти лет в спектакле театра имени Моссовета «Студенты третьего курса». В 1965 году он окончил студию при театре имени Моссовета, где его педагогом был Юрий Александрович Завадский, и был принят в труппу этого театра. С этого момента Леньков стал неотъемлемой частью театра, а также снимался в кино, выступал на телевидении и радио. Позднее он начал преподавательскую деятельность во ВГИКе.
Его первый кинематографический опыт состоялся в 1964 году в фильмах «Дайте жалобную книгу» и «Ключи от неба», которые принесли ему широкую известность. Леньков запомнился зрителям как актёр, воплощавший образы нескладных мужчин-холостяков, особенно в фильме «Зимняя вишня». Он чаще всего играл роли второго плана и эпизодические комедийные персонажи.
На радио Леньков озвучивал роль Андрея Алексеевича Азбучкина в детской передаче «Весёлая азбука». В 1980-х годах он вёл передачу для детей «Умелые руки». В 2001 году передачи «КОАПП» и «Тушите свет» с его участием получили три премии ТЭФИ.
В 2013—2014 годах, вплоть до своей смерти, Леньков был ведущим телепередачи «Сказки для самых маленьких» на телеканале «Радость моя» (дед Евсей).
Он скончался на 71-м году жизни в ночь на 21 апреля 2014 года после тяжёлой и продолжительной болезни (рак желудка) в Москве. Последние полгода он провёл в больнице, где перенёс несколько хирургических операций. Гражданская панихида состоялась 23 апреля 2014 года в Театре имени Моссовета. Александр Леньков был похоронен на Троекуровском кладбище (участок 8а).