Борис Яшин родился 10 мая 1932 года в городе Баку, Азербайджан. В 1956 году окончил Рижское высшее военно-морское училище. Являлся офицером-подводником Военно-морского флота. Затем работал преподавателем в средней школе.
В 1962 году Яшин окончил режиссерский факультет во Всероссийском государственном институте кинематографии имени С. А. Герасимова. Борис Яшин учился на одном курсе с Андреем Смирновым, который позже снимет «Белорусский вокзал», «Осень», «Верой и правдой». Они подружились и даже сделали в конце учебы совместный выпускной фильм — «Юрка — бесштанная команда».
Творческий путь в кино Борис Яшин начал с роли ученого-физика в фильме Михаила Ромма «Девять дней одного года». С 1964 года являлся режиссером киностудии «Мосфильм». Снял ряд сюжетов для киножурнала «Фитиль». Соавтор сценария некоторых собственных фильмов.
Бориса Яшина знают прежде всего как режиссера «Мосфильма». Именно в его фильмах в начале своей карьеры снимались Станислав Садальский, Александр Збруев и Никита Михалков. Он также сделал несколько сюжетов для сатирического киножурнала «Фитиль».
Борис Владимирович Яшин умер 18 февраля 2019 года в Москве.