Александр Роу родился в Москве, а по другим данным — в Юрьевце Костромской губернии (ныне — Ивановская область). Его семья была состоятельной: отец, Артур Уильям Роу (Rowe), ирландец, приехал в Российскую империю в 1905 году для организации мукомольного производства. Он женился на гречанке Эйли Кэраджордж (также — Карагеоргий; в России её звали Юлия). В связи с началом Первой русской революции в 1917 году отец отправил мать с сыном в Юрьевец, а сам вернулся в Ирландию.
Воспитываясь без отца, Александр с матерью переехали в Сергиев Посад, где ему пришлось заниматься торговлей изделиями местных ремесленников. Он закончил семилетнюю школу и поступил в промышленно-экономический техникум. С 1921 года он руководил коллективом самодеятельности, а также участвовал в организации «Живой газеты» и агитбригады «Синяя блуза» в Москве. Позднее он перевелся из техникума в киношколу имени Б. В. Чайковского и окончил её в 1930 году. Затем продолжил обучение в драматическом техникуме имени М. Н. Ермоловой, где получил диплом в 1934 году.
С 1937 года он работал режиссёром на киностудии «Союздетфильм» (позднее — Киностудия имени М. Горького). Его первой самостоятельной работой был фильм-сказка «По щучьему веленью» (1938). Он ориентировался на вариации русских народных сказок для разных возрастных групп. Его экранизации основывались на самих сказках или их литературных переработках.
Александр Роу также снял несколько документальных фильмов. Он был членом ВКП(б) с 1943 года и членом Союза кинематографистов СССР.
Он ушел из жизни 28 декабря 1973 года в Москве. За несколько дней до смерти он попросил организовать прощание с ним на студии, а при выносе тела просил оркестр играть сюиту из комической оперы «Корневильские колокола». Его друг Лев Потёмкин организовал прощание согласно его пожеланиям. Режиссёр похоронен на Бабушкинском кладбище в Москве.