Алексей Александрович Кожевников родился в Ленинграде. Его актерская карьера началась еще в студенческие годы, когда он учился в Ленинградском военно-механическом институте. Первая роль в кино у него была в фильме Михаила Калатозова «Первый эшелон» (1955), где он сыграл роль Вали Солнцева. Этот фильм также стал дебютом для Олега Ефремова и Татьяны Дорониной.
Впоследствии он снимался в различных картинах, включая «На острове Дальнем…», «Они встретились в пути» и «Повесть о молодожёнах». Но настоящую популярность ему принесла роль Вити Громобоева в комедии Юрия Чулюкина «Неподдающиеся» (1959). Этот фильм стал переломным в его карьере, и после его успеха Кожевников ушёл с завода, где работал инженером-конструктором, и стал актёром киностудии «Ленфильм«.
В течение 1960-х годов он снимался во многих фильмах, играя в основном второстепенные роли. Однако его выдающаяся игра была замечена в фильмах «Королева бензоколонки» (1962) и «Неподдающиеся», где его партнёрами были Юрий Белов и Надежда Румянцева.
В последующие годы он продолжал активно сниматься, хотя многие из его фильмов не получили большой популярности. Его последней работой стал фильм «Джек Восьмёркин — «американец»» (1986), вышедший после его смерти.
Алексей Кожевников также занимался актерским озвучиванием в кино и состоял в фактическом браке с актрисой Людмилой Ксенофонтовой. Он скончался 6 сентября 1986 года на 54-м году жизни от острой сердечной недостаточности.
Хотя его жизнь была короткой, его яркие и незабываемые роли остались в памяти зрителей.