Родился 24 января 1910 года в Кишинёве в семье врача-психиатра, профессора Петра Петровича Тутышкина. В 1930 году окончил театральную школу при Театре имени Е. Б. Вахтангова, работал в различных театрах страны как актёр и режиссёр, снимался в кино. Прославился работой в фильме «Волга, Волга» в роли счетовода Алёши Трубышкина, в титрах упомянут как «орденоносец Тутышкин».
Поставил в Театре имени Е. Б. Вахтангова драму Лермонтова «Маскарад», причём премьера лермонтовского «Маскарада» в постановке А. Тутышкина была показана накануне войны — 21 июня 1941 года. В одну из первых военных бомбёжек (23 июля 1941 года) в здание театра попала бомба. Среди погибших был один из лучших актёров театра Василий Куза — друг Тутышкина. Здание было сильно разрушено, уничтожены многие декорации. По Арбату ещё долго были раскиданы элементы декораций и реквизита спектакля «Маскарад».
22 октября 1941 года А. Тутышкин с театром был эвакуирован в город Омск, где снова поставил лермонтовский «Маскарад» в здании Омского театра драмы. В 1943 году руководил фронтовой группой театра имени Вахтангова.
В 1945—1947 годах — художественный руководитель Ленинградского театра музыкальной комедии. В 1960-х годах жил и работал в Ленинграде, был художественным руководителем Театра им. Ленинского комсомола, а также работал как режиссёр на Ленфильме. Режиссёр-постановщик фильмов «Безумный день», «Свадьба в Малиновке», «Вольный ветер», «Мы с вами где-то встречались», «Шельменко-денщик», «К Чёрному морю» и других.
Скончался 30 октября 1971 года. Похоронен в Москве на Головинском кладбище рядом с могилой отца. Спасибо Андрею Тутышкину за творчество. Помним и любим.