Борис Химичев родился 12 января 1933 года в селе Баламутовка Хмельницкой области Украинской ССР. Его семья была далека от актерского искусства: мать работала учительницей, а отец был председателем колхоза. Трудные военные и послевоенные годы повлияли на здоровье Бориса, и он стал объектом насмешек сверстников. Редкие киносеансы в сельском клубе стали отдушиной для него, но даже тогда он не мечтал о карьере актера.
После окончания школы Химичев поступил в Львовский горный институт, но не заинтересовался перспективой стать геологом. Его стремление к яркой жизни привело его в Киев, где он стал студентом радиофизического факультета Киевского государственного университета. Студенческая жизнь изменила его круг общения, и в результате он начал заниматься спортом. После неудачной попытки поступления в Киевский государственный институт театрального искусства имени И. К. Карпенко-Карого, он стал студентом Театральной студии при Театре имени И. Франко.
В 1964 году Химичев окончил Школу-студию МХАТ под руководством П. В. Массальского. С 1964 по 1982 год он работал актером Московского академического театра имени Владимира Маяковского, а затем с 1982 по 2014 год — актером Государственного академического театра имени Моссовета.
В кино Химичев дебютировал в фильме «Операция „Трест“», где сыграл роль поручика Артамонова. Он часто участвовал в детективных лентах, исполняя обычно отрицательные роли. Однако его чаще приглашали на «костюмные» роли, например, в фильме «Баллада о доблестном рыцаре Айвенго».
Борис Химичев также был активным участником общественной жизни и сопредседателем Российской партии пенсионеров. Он скончался 14 сентября 2014 года на своей даче в Москве в возрасте 81 года. Его похоронили на Химкинском кладбище.