Эдуард Артемьев родился 30 ноября 1937 года в городе Новосибирск. В семь лет был отправлен в Москву к дяде. Первоначальное музыкальное образование получил в Московском хоровом училище. В 1960 году окончил Московскую консерваторию по классу композиции Ю.А.Шапорина.
Встретившись в 1960 году с инженером Евгением Мурзиным, создателем одного из первых в мире синтезаторов, занялся исследованиями синтеза звука и электронной музыки. В 1968 на Интернациональном конгрессе электронной музыки во Флоренции был представлен уникальный фотоэлектрический «АНС». Участвовал в деятельности фирм звукозаписи и киностудий в Балтиморе, Бурже. Президент Ассоциации электроакустической музыки при ЮНЕСКО.
Широкую известность принесла Артемьеву его работа в кино. В 1961 по совету композитора В. Мурадели озвучил фильм «Мечте навстречу». Он написал музыку более чем к 150 художественным фильмам, документальным и мультипликационным лентам. Среди них — три фильма А. Тарковского: «Солярис», «Зеркало», «Сталкер», фильмы Н. Михалкова, А. Кончаловского и В. Абдрашитова. Музыка Артемьева к кинофильмам записана на альбом «Территория любви».
Лучшие из песен Артемьева — это песни из кинофильмов либо песни, возникшие на материале музыки фильмов, оригинальные песни-баллады, песни- поэмы, звучащие в исполнении Г.Трофимова, В.Леонтьева, Ж.Рождественской, Р.Бабаян. Пример синтеза электронного рока и симфонической Музыки — вокальный цикл Артемьева «Кто я?», созданный по заказу певицы Ж.Рождественской. Для ВИА «Поющие гитары» написана рок-опера «Преступление и наказание».
Артемьев является членом Союза композиторов и Союза кинематографистов России, президентом основанной им же в 1990 году «Российской ассоциации электроакустической музыки», а также членом исполнительного комитета Интернациональной конфедерации электроакустической музыки ICEM при ЮНЕСКО. Читает лекции для студентов-композиторов Московской консерватории и проводит мастер-классы. С 1964 по 1985 год работал старшим преподавателем по классу инструментовки в Институте культуры.
Работы Артемьева выпущены, в частности, CD-лейблом «Электрошок Рекордз», основанным во второй половине 1990-х годов его сыном Артемием Артемьевым.
В мае 2019 года посещал Донецк.
Скончался 29 декабря 2022 года в Москве на 86-м году жизни от осложнений, вызванных пневмонией. Ранее сын композитора сообщил, что отец находится в реанимации из-за осложнений от бактериальной пневмонии.
Отпевание Артемьева прошло 31 декабря в храме Вознесения на Большой Никитской в Москве. Похоронен рядом с женой на Ваганьковском кладбище, участок 36.