Владимир Бунчиков родился 8 (21) ноября 1902 года в Екатеринославе в семье портного. В ранней юности он остался без родителей, которые эмигрировали в Аргентину. Прожив в Симферополе, он стал рабочим сцены в драматическом театре. В возрасте 22 лет был призван в Красную Армию.
После военной службы поступил в Днепропетровский музыкальный техникум, где обучался у О. Д. Тарловской. В 1929 году, закончив музыкальный техникум, стал солистом Рабочей оперы в Днепропетровске. Затем продолжил свое образование в Ленинградской художественной студии под руководством известного оперного баса Владимира Касторского.
С 1931 года Владимир Бунчиков был солистом Московского музыкального театра им. Немировича-Данченко. В период с 1934 по 1967 год он работал солистом Всесоюзного радио. В этот период он также записывался на грампластинки с джазовым коллективом Владимира Канделаки, эстрадным оркестром Виктора Кнушевицкого, ансамблем песни Всесоюзного радио под управлением Бориса Александрова.
Репертуар Владимира Бунчикова включал песни советских композиторов, такие как «Летят перелётные птицы» и «Грустные ивы» Матвея Блантера, «Песня о фонарике» Дмитрия Шостаковича, «Лирический вальс», «Прощайте, скалистые горы» Евгения Жарковского, «Белокрылые чайки» Давида Прицкера и многие другие.
Особенно известен Владимир Бунчиков своими дуэтами с лирическим тенором Владимиром Нечаевым. Вместе они исполнили множество популярных произведений, таких как «Москва майская», «Праздничная» братьев Покрасс, «Вечер на рейде», «Казачья прощальная», «Давно мы дома не были» и другие.
Певцы сочетались благодаря различным манерам исполнения: взрывной и яркий Бунчиков дополнял более спокойного и лиричного Нечаева. Их дружба завершилась только со смертью Владимира Нечаева в 1969 году.
Владимир Бунчиков ушел из жизни 17 марта 1995 года в Москве и похоронен на Головинском кладбище. На его надгробии выгравированы строки из песни «Летят перелётные птицы».