Александр Иванович фон Круз родился в Москве 26 октября (6 ноября) 1731 года. Его отец, датчанин по происхождению (дат. Ywan wan Kruse), служил в русском флоте с 1723 года унтер-лейтенантом, а скончался в чине капитан-командора в 1764 году. Не доказано предполагаемое некоторыми историками родство семьи Крузов с адмиралом Корнилием Крюйсом.
Джеймс Кеннеди, впоследствии известный адмирал, был крестным Александра Круза, воспитывал его, брал с собой в плавания и усыновил. В 1747 году Александр фон Круз экзаменовался в комиссии, но из-за плохого знания русского языка его согласились принять на службу лишь гардемарином. Тогда Кеннеди отправил его на свой счёт в Англию, где тот много плавал. В 1753 году, после нового экзамена, он был принят на русскую морскую службу с чином унтер-лейтенанта по контракту на два года.
В 1754-1758 годах Круз служил в компаниях по Балтийскому и Северному морям. В 1758 году был произведён в лейтенанты и командовал придворными яхтами. Во время Кольбергской экспедиции (1760-1761 гг.) был ранен.
В 1769 году он принял участие в Первой Архипелагской экспедиции, командуя кораблём «Евстафий Плакида». Перешёл в эскадру адмирала Спиридова в Средиземное море, 24 июня 1770 года участвовал в Хиосском сражении и сцепился на абордаж с турецким флагманским кораблём «Бурдж-у-Зафер». Оба корабля взлетели на воздух, и из немногих спасшихся Круз был подобран подошедшей шлюпкой. Матросы, озлобленные его жестокостью, не хотели его спасать, но один вступился за капитана. После этого случая Круз изменил своё отношение к подчинённым, заслужив их любовь и уважение. За это сражение он получил орден Св. Георгия 4-й степени.
После победы в Чесменском сражении Круз получил в командование захваченный турецкий линейный корабль «Родос». 31 октября корабль попал в шторм, и, не найдя укрытия, экипаж был вынужден сжечь его. В этой истории погибло и умерло 23 человека из экипажа.
В 1773 году Круз был назначен командиром корабля «Св. Андрей Первозванный», затем ему поручили отряд, снаряжённый в город Любек за принцессой Вильгельминой. В 1775 году командовал отрядом в Финском заливе, в 1776 году произведён в капитаны бригадирского ранга. В 1777 году назначен помощником к контр-адмиралу Федоту Клокачёву, командовавшему флотом на Азовском и Чёрном морях. В 1778 году Круз крейсировал по Чёрному морю, не допустив высадки турок в Крым.
В 1779 году он был произведён в капитаны генерал-майорского ранга, а 14 января переименован в контр-адмиралы и переведён в Санкт-Петербург. В 1780 и 1782 годах командовал эскадрами в Северном море, а в 1783 году произведён в вице-адмиралы. В 1785 году командовал практической эскадрой в Балтийском море и получил орден Св. Анны 1-й степени. В 1789 году командовал частью гребной флотилии до назначения вице-адмирала принца Нассау-Зигена.
В 1790 году Круз командовал эскадрой из 17 кораблей и 8 фрегатов, противостоявшей шведской эскадре герцога Карла Сёдерманландского. В Красногорском сражении 23 мая шведы отступили. Императрица наградила участников боя, Круз получил орден Св. Александра Невского и золотую табакерку с надписью: «Громами отражая гром, он спас Петровы град и дом».
При заключении мира со Швецией, 8 сентября, он получил шпагу, украшенную алмазами, и аренду в Лифляндии, утверждённую за ним в вечное и потомственное владение.
Летом 1793 года он командовал эскадрой из 9 линейных кораблей и 3 фрегатов в составе флота Чичагова. 30 июня флот отправился из Ревеля к берегам Британии для участия совместно с британским флотом в блокаде побережья революционной Франции. Когда флот встал на якорь у острова Мэн, 13 июля Круз со своей эскадрой отправился в Северное море для участия в блокаде. Примерно через две недели, узнав, что флот Чичагова возвращается в Россию, он направил свою эскадру на соединение с ним. 14 августа эскадра соединилась с остальным флотом у острова Борнхольм, а 20 августа флот вернулся в Ревель.
5 января 1797 года он был пожалован орденом Св. Андрея Первозванного. Летом того же года командовал дивизией красного флага, когда Павел I лично командовал флотом. Адмирал находился на 100-пушечном корабле «Св. Николай», на котором для него был устроен специальный трап, так как адмирал сильно страдал ногами.
В 1798 году он командовал эскадрой из 15 кораблей и 10 других судов, осуществляя крейсерство по всему Балтийскому морю с целью недопущения военных судов в его воды во исполнение договора о вооружённом нейтралитете. Это был последний поход адмирала фон Круза.
Умер 5 (16) мая 1799 года. Похоронен на лютеранском кладбище в Кронштадте. На его могиле поставлен памятник: ростральная мраморная колонна дорического ордера, с той же надписью, что была и на табакерке, пожалованной ему императрицей Екатериной Великой.