Леонид Кулагин родился 7 июня 1940 года в городе Киренске Иркутской области в семье рабочих. В 1947 году его мать скончалась из-за врачебной ошибки, и после этого его воспитывал отец, а позже мачеха, тётя Нюся. Среднюю школу он окончил в городе Горьком, откуда был родом его отец.
С шести лет Леонид много времени проводил в горьковском драматическом театре, где его отец работал радиомехаником. В школьные годы он активно участвовал в художественной самодеятельности, посещал Дворец пионеров и увлекался пением.
В 1956 году Леонид поступил в театральную студию при Горьковском государственном театре драмы имени Максима Горького и окончил её в 1960 году. Получив диплом актёра, он остался работать в труппе этого театра. Затем он играл в театрах Читы, Ярославля, Липецка и Брянска.
С 1968 по 1995 годы Леонид был актёром Московского драматического театра имени Н. В. Гоголя. С 1997 по 2004 годы он работал главным режиссёром Брянского областного театра юного зрителя, где поставил семнадцать спектаклей, многие из которых до сих пор идут в репертуаре.
В 2004 году он вернулся в Москву и возглавил Продюсерский центр «Театральное товарищество», где работал как режиссёр и актёр во всех антрепризных постановках.