Евгений Мартынов родился 22 мая 1948 года в Камышине (ныне Волгоградская область), но в раннем детстве семья переехала на Донбасс, в город Артёмовск (современное название — Бахмут). В школьные годы он увлекался рисованием и фокусами, которые активно демонстрировал на школьных концертах. Старший сын с интересом слушал отца играющего на аккордеоне, а затем сам начал изучать музыкальное искусство. Ему было всего 11 лет, когда отец приобрел ему аккордеон. Помимо аккордеона, Женя учился игре на баяне под руководством отца и окончил артёмовское музыкальное училище по классу кларнета.
В 1967 году он поступил в Киевскую консерваторию имени П.И. Чайковского, но вскоре перевёлся в Донецкий музыкально-педагогический институт, который успешно окончил в 1971 году.
В 1972 году в Москве он познакомился с Майей Кристалинской и представил ей свою песню «Берёзка», которая впервые была исполнена в театре эстрады. Это привлекло внимание к его творчеству, и он был приглашен в «Росконцерт», где его прослушали и пригласили в сборную эстрадную программу. В этом же году на центральном телевидении прозвучала его песня «Моя любовь» в исполнении Гюлли Чохели.
С 1973 года Мартынов жил и работал в Москве, сначала в Государственном концертном объединении «Росконцерт» как солист-вокалист, а затем в издательствах «Молодая гвардия» и «Правда» как музыкальный редактор-консультант. В 1973 году он стал лауреатом Всесоюзного конкурса исполнителей советской песни в Минске.
С 1974 года он победил на всесоюзном телевизионном фестивале советской песни «Молодые голоса».
Мартынов был членом Союза композиторов СССР с 1984 года.
В 1978 году он снялся в художественном музыкальном фильме «Сказка как сказка», после чего актерская карьера закончилась.
Его мелодии были красивыми, светлыми и душевными, а его голос — звонким, бархатным, с редким красивым тембром. Мартынов нёс заряд положительных эмоций, передавая слушателям чувство радости и восхищения. Его песни исполняли многие выдающиеся советские певцы 1970—1980-х годов.
С 1988 года он работал в редакции журнала «Крестьянка» (издательства ЦК КПСС «Правда») как музыкальный редактор-консультант.
Евгений Мартынов много гастролировал за границей и участвовал во многих национальных и международных фестивалях и конкурсах.
Несмотря на успехи, его песни часто критиковали, но его творчество оставалось популярным и востребованным. В 1990 году он исполнил свою последнюю песню «Марьина роща» на отборочном выпуске фестиваля «Песня года-90».
Умер 3 сентября 1990 года. Похоронен в Москве на Новом Кунцевском кладбище, участок №2.