Андрей Яковлевич Эшпай, известный композитор и пианист, родился в Козьмодемьянске (современная Республика Марий Эл) в музыкальной семье. Его отец, Яков Эшпай, был композитором и музыковедом, а мать, Валентина Тогаева, также была знатоком и исполнительницей народных песен. В 1928 году семья переехала в Москву, где Андрей начал свое музыкальное образование под руководством отца.
В начале Великой Отечественной войны, несмотря на свой юный возраст, он стремился пойти на фронт, но ему отказали из-за несовершеннолетия. Вместо этого в 1943 году он поступил в Чкаловское пулемётное училище, а затем прошел обучение на курсах военных переводчиков. Андрей участвовал в боях на 1-м Белорусском фронте и был награжден орденом Красной Звезды за личное мужество и важную роль в собирании информации о противнике.
В 2011 году в интервью корреспонденту газеты «Аргументы и факты» так рассказывал об истории написания одной из своих известнейших песен:
«„Москвичи“ десять лет спустя после Победы я написал для Марка Бернеса. Мы жили на Большой Бронной в полуподвале. К нам ходили через окно. Вот и он так пришёл. Громко крикнул через подоконник: „Марийцы здесь? (Мой папа — мари, он и его двоюродный брат Палантай — основоположники марийской профессиональной музыки.) Есть слова, нужна музыка!“ Я прочёл текст и был буквально ошеломлён. Поразительное совпадение! Всё, о чём писал незнакомый мне тогда поэт Евгений Винокуров, было у меня в жизни! И сонная Висла, и весенняя сырая земля, и улица — Бронная… Брат Валя, который не вернулся с войны, погиб под Ленинградом. А мама всё ждала и ждала его возвращения до последних своих дней… Была даже девушка, которая не дождалась…»
После войны он продолжил свое образование в Московской консерватории, где изучал композицию и фортепиано. Он успешно окончил консерваторию в 1953 году и в последующие годы активно выступал как пианист, исполняя свои собственные произведения.
В дальнейшем он преподавал композицию в Московской консерватории и принимал активное участие в различных музыкальных организациях, включая Союз композиторов СССР. Он также был председателем жюри многих престижных конкурсов и занимал высокие посты в музыкальных ассоциациях, включая руководство Российским авторским обществом.
Андрей Яковлевич Эшпай также был народным депутатом СССР от творческих союзов.
Скончался от последствий инсульта 8 ноября 2015 года на 91-м году жизни в Москве. Похоронен на Новодевичьем кладбище (уч. 9, ряд 2, м. 17)