Родившись 7 мая 1939 года в Ленинграде, Леонид Дьячков окончил Ленинградский театральный институт имени А. Н. Островского в 1961 году. Сразу после выпуска он присоединился к труппе Театра имени Ленсовета. В период с 1984 по 1986 годы он работал актёром киностудии «Ленфильм», а с 1988 по 1995 годы — в театре имени А. С. Пушкина (ныне — Александринский театр).
Дебют в кино состоялся в роли Валетова в фильме Сергея Микаэляна «Принимаю бой», снятом в 1962 году, но выпущенном на экраны лишь в 1966 году. Его работы включают в себя фильмы, такие как «Ты и я» (1971), где он сыграл главную роль вместе с Юрием Визбором и Аллой Демидовой, а также «Премия» и «Самый жаркий месяц», вышедшие в 1974 году.
В 1984 году он покинул Театр имени Ленсовета, оправдав свой уход словами: «Я актёр голливудского масштаба, а тут у вас…». Несмотря на попытки найти новое место работы в другом театре, он оказался числящимся на «Ленфильме», однако его участие в кинофильмах сильно сократилось.
В 1987 году он получил сотрясение от удара по голове упавшей балкой, что привело к развитию опухоли головного мозга. В 1988 году Леонид Дьячков присоединился к театру имени А. С. Пушкина, где и проработал до своей кончины.
Весной 1995 года он оказался в больнице из-за опухоли мозга. В конце октября по телевидению показали несколько его старых фильмов, после просмотра которых актёр впал в депрессию. Утром 25 октября он, смотря фильм «Ты и я», в котором его герой стоял перед выбором жизни и смерти, шагнул с балкона четвёртого этажа дома № 7 по Измайловскому проспекту в Санкт-Петербурге. В предсмертной записке, оставленной на рабочем столе, было написано: «Пора…».
На его похоронах было мало артистов, так как руководство Александринского театра не отменило репетицию, и актёры не смогли прийти на кладбище. Леонид Дьячков был похоронен на Волковском кладбище.