Родился 20 июля (2 августа) 1902 года в деревне Тростная, ныне Комаричского района Брянской области, в семье крестьянина. Русский. Стал членом ВКП(б) с 1928 года. Получил начальное образование и с 1915 года работал чернорабочим в железнодорожном депо в городе Брянске. Прошел службу в железнодорожном полку Красной Армии в городе Гомеле.
В 1922 году окончил курсы помощника начальника станции в городе Курске. После этого три года был начальником штаба противовоздушной обороны в городе Унече. С 1937 года занимался партийной деятельностью, был секретарем парткома Белорусской железной дороги, первым секретарем Железнодорожного райкома партии города Гомеля. В 1939 году окончил советскую партийную школу. С марта 1941 года — секретарь Гомельского горкома партии, с июля 1941 — второй секретарь горкома.
В августе 1941 года Барыкин участвовал в организации обороны Гомеля и был одним из создателей Гомельского полка народного ополчения. Он также организовывал подполье в городе, заботился о материальной базе и вооружении диверсионных групп.
После захвата немецкими войсками Гомеля, Барыкин ушёл в Новобелицкий лес, где стал комиссаром партизанского отряда «Большевик» и оставался одновременно членом Гомельского подпольного обкома и секретарём Гомельского подпольного горкома ВКП(б).
С августа 1941 года по лето 1942 года партизаны под руководством Барыкина разгромили несколько гарнизонов противника, провели засады на шоссейных дорогах и успешно осуществляли диверсионные операции.
Барыкин возглавлял первый выход на железную дорогу Гомель — Жлобин, применив диверсионные методы. Его команда совершила успешные атаки на гарнизоны противника и уничтожила их технику.
В ноябре 1942 года блокированные войсками вермахта партизанские отряды, включая отряд Барыкина, вынуждены были оставить свои базы и укрыться в Октябрьском районе, где существовала обширная партизанская зона.
6 февраля 1943 года Барыкин стал начальником штаба Гомельского партизанского соединения. Партизаны продолжали успешные операции, сбрасывая под откос восемь поездов и уничтожая военный завод.
Летом и осенью 1943 года Гомельское партизанское соединение активно участвовало в «рельсовой войне», а также атаковало гарнизоны и оказывало помощь крестьянам, обживающимся в лесах после уничтожения своих деревень.
17 ноября 1943 года Барыкин возглавил налёт на гарнизон в деревне Борщёвка, в ходе которого уничтожено до 150 солдат противника, а также захвачены значительные трофеи.
Белоруссия, СССР, 1943 год.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 1 января 1944 года Барыкин удостоен звания Героя Советского Союза за особые заслуги в развитии партизанского движения в Белоруссии и героическое сопротивление немецко-фашистским захватчикам. Вручены орден Ленина и медаль «Золотая Звезда» (№ 3207).
С 1944 года полковник Е. И. Барыкин находится в запасе. Продолжил свою партийную деятельность, став секретарём Гомельского горкома партии. С 1948 года избран секретарём Барановичского обкома ВКП(б). Вел депутатскую деятельность в Верховном Совете БССР с 1947 года. Был награждён знаком «Почётный железнодорожник».
Евгений Иванович Барыкин умер 25 марта 1951 года. Похоронен в Гомеле в мемориальном сквере у площади Труда.