Алексей Васильевич Куркин родился в Харькове в семье рабочего. В 1918 году вступил в РККА и принял участие в Гражданской войне. Он служил инструктором пулеметной команды, был помощником начальника пулеметного борта бронепоезда, а затем командовал бронепоездом на Южном фронте. С 1920 года стал членом ВКП(б).
После Гражданской войны перешел на политическую работу, окончил Харьковский военно-политический техникум в 1922 году. В 1932 году успешно закончил Высшие бронетанковые курсы и был назначен командиром различных воинских подразделений. В 1935 году окончил Академические курсы при Военной академии механизации и моторизации РККА.
С началом Великой Отечественной войны Алексей Куркин командовал 3-м механизированным корпусом в Прибалтийском военном округе и принимал участие в Прибалтийской стратегической оборонительной операции. Однако, корпус фактически был уничтожен. После выхода из окружения, в августе 1941 года, Куркин стал первым заместителем командующего новым 1-м гвардейским стрелковым корпусом.
В январе 1942 года назначен командиром 3-го механизированного корпуса в Прибалтийском военном округе. В том же году участвовал в Орловско-Брянской оборонительной операции, а затем командовал 26-й армией. В 1943 году стал заместителем командующего бронетанковыми и механизированными войсками Красной Армии.
После войны продолжил свою службу, участвовал в Манчжурской операции Советско-японской войны. В 1946 году стал генерал-инспектором в Генеральной инспекции БТ и МВ.
Награжден орденом Ленина, 2 орденами Красного Знамени, орденами Кутузова 1 ст., Красной Звезды, медалями.
Алексей Васильевич Куркин скончался 16 марта 1948 года в Москве и похоронен на Новодевичьем кладбище.