Александр Васильевич Чапаев родился 23 августа 1910 года в селе Балаково Николаевского уезда Самарской губернии (ныне город Балаково Саратовской области).
Его мать, дочь священника Пелагея Никаноровна Метлина, родила Александра в 16 лет. Отец, Василий Иванович Чапаев, часто находился в разъездах, поэтому Пелагея растила ребёнка одна. Чуть позднее у Александра появились ещё сестра Клавдия и брат Аркадий.
Окончив школу, Александр поступил в аграрный техникум, после которого начал работать агрономом в Оренбургской области.
Саша был девятилетним, когда его отец погиб в сражении с белоказаками. После окончания школы он поступил в аграрный техникум, а затем начал работать агрономом в Оренбургской области. После призыва в Рабоче-Крестьянскую Красную Армию, он поступил в военное артиллерийское училище и успешно его закончил. Александр Васильевич Чапаев служил в различных боевых частях, проходил стажировку в Академии моторизации и механизации Красной Армии.
В период формирования Подольского артиллерийского училища в 1939 году, он был назначен командиром учебной батареи. Во времена Великой Отечественной войны, он встретил ее, будучи командиром батареи курсантов в Подольском артиллерийском училище. При училище сформировался 696-й артиллерийский полк, где Чапаев стал командиром дивизиона противотанковых орудий. Эта часть была отправлена на фронт, где Александр проявил себя в битве за Москву, контрнаступлении под советской столицей, боях под Ржевом, на Курской дуге, а также в освобождении Белоруссии и Прибалтики. В конце войны он закончил службу в звании полковника, командуя 64-й тяжелой пушечной артиллерийской бригадой в Курляндии. За отличие в боях Чапаеву были присуждены два ордена Красного Знамени, один орден Суворова III степени, а также ордена Александра Невского, Отечественной войны I степени, Красной Звезды, и множество медалей.
После войны он продолжил службу в армии, командуя 40-й гвардейской пушечной артиллерийской бригадой и принимая участие в Тоцких учениях. В 1956 году его бригаду расформировали, и его направили на высшие академические курсы при Военной академии имени Дзержинского. По окончании курсов он стал командующим артиллерией Приволжского военного округа. Завершив военную службу, он работал заместителем командующего артиллерией Московского военного округа.
Находясь на пенсии, Александр Васильевич Чапаев активно участвовал в военно-патриотической работе, посещая 25-ю гвардейскую дивизию имени В.И. Чапаева и рассказывая молодым воинам о своем отце, о своей солдатской службе и о мужестве защитников Отечества в годы войны.
Он скончался 7 марта 1985 года в Москве и был похоронен на Кунцевском кладбище.