Дыбовский происходил из дворян Киевской губернии. Он начал свою военную службу в 1901 году и после окончания Морского кадетского корпуса в январе 1904 года был зачислен в 19-й флотский экипаж в ранге мичмана. В составе этого экипажа он участвовал в Цусимском сражении во время Русско-японской войны 1904–1905 годов и попал в плен.
В марте 1907 года он был переведен на Черное море и зачислен в 29-й флотский экипаж. С ноября 1908 года он служил как старший флаг-офицер штаба командующего отрядом минных судов Черноморского флота в звании лейтенанта. В июле 1909 года его перевели на должность командира миноносца №273. В августе 1909 года Дыбовский был зачислен как слушатель в Артиллерийский офицерский класс. По завершении обучения его перевели в Петербургский воздухоплавательный парк в Гатчине, где он изучал теорию и практику воздухоплавания.
В октябре 1910 года он окончил Морской корпус и был назначен в распоряжение начальника Отдела воздушного флота с прикомандированием к 2-му флотскому экипажу. В конце 1910 года его перевели в Севастопольскую офицерскую авиационную школу. В апреле 1911 года Дыбовский получил диплом пилота, а в ноябре того же года закончил Севастопольскую авиационную школу.
В июне 1911 года он впервые в России продемонстрировал возможность обнаружения погруженной подводной лодки с аэроплана. В июле 1912 года, на летательном аппарате «Ньюпорт», Дыбовский совершил сверхдальний перелет по маршруту Севастополь – Харьков – Орёл – Тула – Москва – Петербург и был награжден золотой медалью за это достижение.
В 1913 году в Риге на заводе «Motor» он построил оригинальный моноплан «Дельфин» с фюзеляжем обтекаемой формы. С апреля 1914 года он служил военным летчиком 20-го корпусного авиационного отряда и принимал участие в Первой мировой войне. В январе 1915 года за выдающиеся заслуги он был награжден чином старшего лейтенанта.

16 апреля 1911 года — В Севастополе впервые был проведён опыт по сопровождению кораблей самолётами
С сентября 1915 года он служил в распоряжении генерала-квартирмейстера штаба 4-й армии. В 1915–1917 годах он был представителем Русского Морского командования в Англии и возглавлял Отдел приёмки авиационного имущества в Русском закупочном комитете. В июле 1916 года его произвели в капитаны 2 ранга.
После Октябрьской революции 1917 года Фёдор Дыбовский не вернулся в Россию и умер 29 декабря 1953 года в Фристон-госпитале в Лондоне.
Он был награжден орденами: Св. Владимира 4-й степени с мечами и бантом, Св. Станислава 2-й и 3-й степени, и Св. Георгия 4-й степени.