Родился 13 декабря 1703 года в селе Лужное (ныне Дубенского района Тульской области). Был русским дворянином, мореплавателем, исследователем.
В 1715 году окончил Московскую навигационную школу. В 1721 году окончил Петербургскую морскую академию, получив чин унтер-лейтенанта и назначение на Балтийский флот Вооружённых сил России.
В 1722 году вернулся в Морскую академию в качестве преподавателя навигации. В 1725 году был назначен помощником Витуса Ионассена Беринга в Первой Камчатской экспедиции (1725—1730). Во время путешествия определил 28 астрономических пунктов, что впервые позволило установить истинную долготную протяжённость Сибири. На боте «Святой Гавриил» совершил плавание от устья реки Камчатки на север для поиска пролива между Азией и Америкой.
В 1733—1741 годах он был участником и одним из руководителей Второй Камчатской экспедиции на пакетботах «Святой Пётр» и «Святой Павел». В 1740 году экспедиция основала на полуострове Камчатка Петропавловскую гавань, которая была названа в честь их кораблей. Во время плавания 1741 года корабли Беринга и Чирикова потеряли друг друга в тумане и продолжили действовать независимо.
15 июля 1741 года А. И. Чириков на пакетботе «Святой Павел» первым из европейцев достиг северо-западного побережья Америки (это было второе посещение русским судном американского берега после М. С. Гвоздева и И. Фёдорова на боте «Святой Гавриил» 21 августа 1732 года). Затем он продолжил путешествие вдоль берегов Северной Америки на север и на обратном пути обнаружил ряд островов Алеутской гряды, таких как Умнак, Адах, Агатта и Атту, и занес их на карту. Экспедиция Беринга-Чирикова 1741 года положила начало практическому освоению Россией северо-западной части Северной Америки.
В 1741 году Алексей Чириков возглавил экспедицию, направлявшуюся к берегам западной части Северной Америки. Однако из-за неясных обстоятельств и болезней значительная часть команды погибла, включая 15 членов экспедиции, которые попытались высадиться на берег и были известны как «группа Дементьева». Судьба этих пропавших членов экспедиции вызывала беспокойство у соотечественников в течение многих десятилетий. Михаил Васильевич Ломоносов в 1763 году писал: «Если бы можно было достать жителя земли, что лежит против Чукотского носа, то у нас были бы надежды получить информацию о судьбе россиян, потерянных Чириковым на западном побережье Америки».
В октябре 1741 года Чириков вернулся в Петропавловск, страдая от туберкулеза, с истощенной и уменьшившейся командой, в которой осталось лишь 51 человек из 75 начального состава.
В 1742 году он принял участие в поисках пакетбота «Святой Пётр». В 1746 году он принял участие в создании карты русских открытий в Тихом океане на основе результатов Камчатских экспедиций.
С начала 1746 года Алексей Чириков занял пост директора Морской академии в Санкт-Петербурге. Алексей Чириков был переведен в Москву, где он управлял Московской конторой Адмиралтейств-коллегии, но вскоре умер от туберкулеза и его осложнений.