Борис Щукин родился 17 апреля 1894 года в городе Кашира Московской области. Его воспитание проходило в семье служащего. В 1902 году он поступил в трехклассное железнодорожное училище, а именно начальную школу при железнодорожной станции «Кашира». Полученное там образование оказалось довольно низким.
В 1905 году отец отправил Бориса учиться в Московское частное реальное училище Воскресенского. Из-за различий в программах пришлось начать образование заново с 1 класса.
Закончив учебу в 1912 году, он некоторое время работал, параллельно играя в любительском театре, созданном при местном отделении Общества попечительства о народной трезвости.
В 1913 году он продолжил образование, поступив на механическое отделение Императорского Московского технического училища. В 1916 году был призван в армию в связи с началом Первой мировой войны. После прохождения курсов подготовки офицеров в Александровском военном училище был назначен прапорщиком. В декабре 1916 года направлен на службу в запасной полк в Саратове, где обучал солдат. Параллельно выступал на местных сценах.
Осенью 1917 года, при Временном правительстве, его направили на фронт — в Калишскую губернию, к позициям Калишского погранполка.
После Брестского мира в 1918 году Борис Щукин вернулся в Каширу и начал работать слесарем в железнодорожном депо, также занимался фотографией. Позже присоединился к организации местных военных курсов как инструктор.
В 1919 году вернулся на военную службу в Красную Армию и стал адъютантом школы старших инструкторов при 2 артиллерийской бригаде.
В 1920 году он поступил в драматическую студию под руководством Вахтангова, хотя вначале ему пришлось сочетать учебу с военной службой. После окончания студии был принят в труппу Театра имени Вахтангова.
Борис Щукин стал выдающимся представителем советской реалистической актерской школы, мастерски сочетавшим в своем искусстве элементы комедии и драмы. Он также первым из советских актеров успешно воплотил образ Владимира Ленина на сцене и в кино, создав традицию для советского кинематографа.
Помимо актерской деятельности, он также занимался режиссурой и принимал участие в организации спектаклей. Он также вел педагогическую работу в школе при театре, которая впоследствии стала известной как Театральный институт имени Бориса Щукина.
Похоронен 9 октября 1939 года на Новодевичьем кладбище столицы.