Валерий Асапов родился 1 января 1966 года в поселке Константиновка, Кировская область. После школы в 1983 году подал документы в Рязанское высшее воздушно-десантное командное ордена Суворова дважды Краснознаменное училище имени Василия Маргелова, но не смог в него поступить. Выдержав испытание в рязанских лесах, борьбой с дикой природой за ночлег, тепло, пищу и воду, все же зачислен в училище дополнительным приказом. Спустя четыре года, в 1987 году окончил училище с отличием в звании лейтенанта.
Первым местом службы Асапова стала базирующаяся в городе Псков 76-я гвардейская десантно-штурмовая дивизия. Далее, в 104-м парашютно-десантном полку дивизии, за десять лет, прошел путь от командира взвода до командира батальона.
С 1992 по 1993 года служил в Южной Осетии. В январе 1995 года, Асапов, в должности начальника штаба батальона и звании майора командирован в Чеченскую Республику. Во время боев за город Грозный получил тяжелое огнестрельное ранение. За год Валерий Григорьевич перенес четыре операции и длительное время проходил реабилитацию.
Далее, с 1997 по 2000 год учился в Военной академии имени Михаила Васильевича Фрунзе. После окончания академии получил назначение заместителем командира триста сорок пятого отдельного парашютно-десантного полка в составе миротворческих сил в Абхазии. Далее, в 2001 году в звании подполковника стал командиром десятого парашютно-десантного полка. В том же году вывел свое подразделение из базы в городе Гудаута с территории Грузии. Через год возглавил группу, десантировавшуюся в Кодорское ущелье.
В 2003 году полковник Валерий Асапов стал Первым заместителем командира базирующейся в городе Иваново 98-й воздушно-десантной дивизии. Через полтора года занял должность Начальника штаба. С 2003 по 2004 год находился в командировании в Чеченской Республике.
Затем, в 2007 году Валерия Григорьевича перевели из Воздушно-десантных войск в Сухопутные войска, где занял пост командира 18-й пулеметно-артиллерийской дивизии Дальневосточного военного округа, дислоцирующейся на Курильских островах. За время командования исправил проблемы с воинской дисциплиной и боевой подготовкой, наладил порядок комплектования частей офицерами и личным составом, организовал плановый ремонт и восстановление техники.
С 2010 по 2011 года Агапов являлся слушателем Военной академии Генерального штаба. С 23 июня 2011 года в звании полковника являлся командиром 37-й отдельной мотострелковой бригады. Под его командованием бригада приняла участие в трех международных учениях: двух российско-монгольских «Селенга-2011» и «Селенга-2012» и в российско-индийском «Индра-2012».
В феврале 2013 года Агапов стал заместителем командующего 5-й армией Восточного военного округа, базирующейся в городе Уссурийск. В январе следующего года назначен командующим 68-го армейского корпуса, базирующегося в городе Южно-Сахалинск. Под его руководством прошел ряд учений: отработаны «различные сценарии обороны побережья на десантно-опасных направлениях», «ряд задач по уничтожению диверсионно-разведывательной группы», «действия группировки войск при ликвидации последствий кризисных ситуаций природного и техногенного характера, в частности, возникших в результате землетрясения и представляющих угрозу военным и гражданским объектам».
Валерий Григорьевич в июне 2016 года получил звание генерал-лейтенанта. В августе того же года занял пост командующего пятой общевойсковой армией. Вскоре после назначения Асапова армия отметила семидесятипятилетие со дня своего создания. Генерал-лейтенант немало потрудился, чтобы развить группировку и превратить Курилы в неприступную крепость для любого потенциального противника.
В феврале 2017 года отправлен в командировку в Сирию, где Асапов выполнял в обязанности старшего группы российских военных советников, занимаясь оказанием помощи сирийским командирам в управлении операцией по освобождению Дайр-эз-Заура. К тому времени борьба за отбитие города у террористов развернулась между сирийскими войсками при поддержке России и силами сирийской оппозиции при помощи войск коалиции во главе с США. Ввиду этого возросла возможность столкновения соседствующих сторон: сирийская оппозиция обвинила Россию в нанесении авиаударов по своим Сирийским демократическим силам, однако в российском министерстве обороны заявили, что атаки проводились лишь по «объектам террористов».
Асапов работал при штабе 5-го добровольческого штурмового корпуса Сирийской арабской армии, подошедшего к Дайр-эз-Зауру и занявшегося форсированием Евфрата. Участвовал в боях вдоль Евфрата, попал под снайперский обстрел под Акербатом. Сирийские войска являлись обязаны своими военными успехами российским военным советникам, взявшим на себя организацию вопросов боевого управления, разведки, связи, планирования боевых действий, в общем все те задачи, которые и выполнял Валерий Григорьевич.
По официальным данным Министерства обороны России, генерал-лейтенант Валерий Асапов 23 сентября 2017 года получил смертельное ранение от разрыва минометного снаряда со стороны боевиков террористической группировки во время сражения за Дайр-эз-Заур. Мина точной наводкой попала в командный пункт, где находился российский военачальник. Асапов стал самым высокопоставленным офицером погибшим в Сирии.