Алексей Николаевич Первушин родился 20 сентября 1905 года в Термезе.
Учился в Ташкентском кадетском корпусе, в 1914 году переведён во 2-й Оренбургский кадетский корпус, а в 1917 году поступил в Термезскую местную гимназию.
В годы Гражданской войны Александр Николаевич Первушин служил красноармейцем в Термезской пограничной конной разведке, участвовал в боях в Восточной Бухаре. После войны стал командиром взвода, активно принимал участие в боевых действиях против басмачей в Узбекистане.
С октября 1927 года он занимал различные должности, включая начальника разведывательной части штаба Северной группы войск в Туркменистане, начальника полковой школы, помощника и начальника штаба кавалерийского полка, а также начальника оперативной части и помощника начальника штаба кавалерийской дивизии. В дальнейшем он стал командиром кавалерийского полка и офицером для особых поручений при командующем войсками фронтовой группы Забайкальского военного округа.
Первушин также принимал участие в боях на реке Халхин-гол и в советско-финляндской войне 1939-1940 годов. С апреля 1941 года он служил заместителем командира 156-й стрелковой дивизии Одесского военного округа.
В начале Великой Отечественной войны Первушин командовал 106-й стрелковой дивизией, участвовавшей в оборонительных боях в Крыму и на Керченском полуострове. Затем он стал командующим 51-й отдельной армией и принимал активное участие в контрнаступлении войск Южного фронта под Ростовом.
После этого Первушин возглавил 44-ю армию, принимая участие в Керченско-Феодосийской десантной операции. За выдающиеся боевые действия его войска была объявлена благодарность.
Однако, 15 января 1942 года, штаб 44-й армии был уничтожен авианалетом, и Первушин получил тяжелые ранения, в результате чего был признан ограниченно годным к военной службе.
После излечения он занимал ряд командных и штабных должностей в различных военных округах, включая заместителя командующего войсками Средне-Азиатского военного округа и Одесского военного округа. В декабре 1953 года он вышел в отставку.
Награжден орденом Ленина, 4 орденами Красного Знамени, орденом Кутузова 2-й ст., медалями.
Умер 6 апреля 1975 года в Москве. Похоронен на Введенском кладбище (29 уч.).