Алексей Куракин родился 19 сентября 1759 года. Являлся сыном гофмейстера сенатора Бориса Александровича Куракина и младшим братом Александра Борисовича Куракина, воспитываемого вместе с цесаревичем Павлом Петровичем, будущим Императором Павлом I.
Благодаря этим родством обязан взлету своей карьеры на высших государственных должностях. С 1775 по 1776 года учился в Лейденской академии одноименного города в Нидерландах. В следующем году получил звание камер-юнкера.
В 1793 году Куракину пожаловали чин камергера, а уже через два года его произвели в тайные Советники. С 4 декабря 1796 года занимал пост Генерал-прокурора. Спустя несколько дней стал Главным директором Государственного Ассигнационного банка. За время службы собрал «уложенную комиссию»: три книги законов уголовных, гражданских и казенных дел; и восстановил при Сенате школу юнкеров из дворян для обучения их правоведению.
Чин действительного тайного советника Куракин получил в 1797 году. Попав в немилость Императора, 8 августа 1798 года отставлен от должности Генерал-прокурора. Далее назначен сенатором, что означало понижение и вскоре полностью отстранен от государственных дел.
На службу Алексея Борисовича призвал Александр I. С 4 февраля 1802 года являлся Малороссийским Генерал-губернатором. Занимал пост около шести лет: провел канал на реке Остре, заботился о народном образовании и народном здравии.
С 1804 года Куракин входил в состав Государственного совета Российской Империи. Нередко исполнял обязанности Председателя. Позднее, с 1807 по 1810 года занимал должность Министра внутренних дел. Находясь на этом посту строил Главное правление мануфактур и основал «Северную почту», позднее переименованную в «Новую Санкт-Петербургскую газету».
После ухода с поста, вновь вернулся в Государственный совет. С 1821 года возглавлял Департамент государственной экономии совета. Через пять лет стал канцлером Ордена Российской Империи. Входил в состав Верховного уголовного суда над декабристами.
Куракин Алексей Борисович скончался 30 декабря 1829 года в селе Куракино, Орловской области.
