Юрий Богатырев родился 2 марта 1947 года в городе Рига, Латвия, в семье офицера. Его увлечения в детстве включали кукольный театр и рисование. После окончания восьмого класса поступил в художественно-промышленное училище, где занимался рисованием и изучал искусство.
Позже, в 1966 году, поступил в Высшее театральное училище имени Бориса Щукина, в мастерскую Юрия Васильевича Катина-Ярцева. После окончания учебы в 1971 году был принят в труппу московского театра «Современник«, где сыграл ряд ярких ролей.
Однако, настоящую известность актеру принес фильм Никиты Михалкова «Свой среди чужих, чужой среди своих«, где он сыграл роль Егора Шилова. Этот фильм принес ему признание и успех.
Помимо работы в кино и театре, Богатырев также занимался рисованием и подготавливался к своей первой персональной выставке живописи, которая, к сожалению, не состоялась из-за его внезапной смерти.
Юрий Георгиевич Богатырев скончался 2 февраля 1989 года в Москве от сердечного приступа в возрасте 41 года